<HTML>
<HEAD>
<TITLE>複數實數係數多項式求根</TITLE>
<META http-equiv=Content-Type
 content="text/html; charset=big5">

<script type="text/javascript">
<!--

var tiny1=1.e-6; //9802241304

//複數和
function caddf(c1,c2) //9802241257
{
c1=toCplx(c1);
c2=toCplx(c2); //9802241622

//複數和需要下面四行
c1[0]=parseFloat(c1[0]); //9802261358
c1[1]=parseFloat(c1[1]); //解決問題 1+2=3
c2[0]=parseFloat(c2[0]); //否則 1+2=12
c2[1]=parseFloat(c2[1]);
//複數差不需要上面四行，因為字串沒有相減。 9802261403

var c0=[0,0];
c0[0]=c1[0]+c2[0];
c0[1]=c1[1]+c2[1];

return c0;
}


//複數差
function csubf(c1,c2) //9802241301
{
var c1in=c1;
var c2in=c2; //9803131420

c1=toCplx(c1);
c2=toCplx(c2); //9802241623

var c0=[0,0];
c0[0]=c1[0]-c2[0];
c0[1]=c1[1]-c2[1];
return c0;
}


//複數積
function cmulf(c1,c2) //9802241303
{
var c1in=c1;
var c2in=c2; //9803131418

c1=toCplx(c1);
c2=toCplx(c2); //9802241624

var c0=[0,0];
c0[0]=c1[0]*c2[0]-c1[1]*c2[1];
c0[1]=c1[1]*c2[0]+c1[0]*c2[1];
return c0;
}




//複數商
function cdivf(c1,c2) //9802241305
{
var c0=[0,0];
c1=toCplx(c1); //9802241320
c2=toCplx(c2); //9802241656

if(Math.sqrt(c2[0]*c2[0]+c2[1]*c2[1])<tiny1)
return ['div0','div0']

var w1,w2;

if(Math.abs(c2[0])>Math.abs(c2[1]))
  {
  w1=c2[1]/c2[0];
  w2=c2[0]+w1*c2[1];
  c0[0]=(c1[0]+w1*c1[1])/w2;
  c0[1]=(c1[1]-w1*c1[0])/w2;
  }
  else
  {
  w1=c2[0]/c2[1];
  w2=c2[1]+w1*c2[0];
  c0[0]=(c1[0]*w1+c1[1])/w2;
  c0[1]=(c1[1]*w1-c1[0])/w2;
  }
return c0;

} //9802241318 複數商 function cdivf(c1,c2)






//98,02,28,14,22
var testInp0=
"12\n"+
"1+2i\n"+
"4,6\n"+
"i*5+7\n"+
"[1,5]\n"+
"[[1,5],[2,6]]\n"+
"i\n"+
"I\n"+
"-I\n"+
"-i+2\n"+
"3+i\n"+
"文字\n"+
"1.1+1.2i\n"+
""
;





/**
複數的形式是 1+2i ，使用者可以輸入 "1+2i" "2i+1" "1,2"
等式樣，但是程式只能以 aa=[1,2] 處理，實數部份為 aa[0]=1
虛數部份為 aa[1]=2 所以，"1+2i" "2i+1" "1,2" 等都要
轉換為數列 aa=[1,2] 函數 toCplx(c1) 執行這種轉換。

上面的「[1,2]」代表雙值的複數數列，假設變數 aa=[1,2]
那麼，複數的實數部份為 aa[0]=1
以及，複數的虛數部份為 aa[1]=2
同時， aa[2] 無定義。 9802281106
上面是單參數變數 aa[] ，下面是雙參數變數 coef0[][] 
三次複數係數多項式，有三加一等於四個複數係數，存於 coef0
coef0[0] 是第零個複數係數 1+2i 常數項。
coef0[0][0] 是第零個複數係數 1+2i 的實數部份 1
coef0[0][1] 是第零個複數係數 1+2i 的虛數部份 2
coef0[1] 是第一個複數係數 3+4i 就是 x 一次方係數。
coef0[1][0] 是第一個複數係數 3+4i 的實數部份 3
coef0[1][1] 是第一個複數係數 3+4i 的虛數部份 4
三次複數係數多項式的最高次係數為 coef0[3] 大多數多項式
的最高次係數是實數一，即 coef0[3][0]=1; coef0[3][1]=0
9802281120
/**/
//把 「1.1,2.2」 改為複數格式 c[0]=1.1, c[1]=2.2
function toCplx(c1) //9802241318
{
if(c1.length==2) //9802272128
  {
 if(!isNaN(c1[0])&&!isNaN(c1[1])) return c1; //已經是複數格式 9802241713
  }

if((c1[0]+'')=='div0')return; //9802261723

var i0,i1,i2;
var c0=['',''];
var imgLoc=-1; //9802241337
var cutLoc=-1; //9802241557

var c2='';

if(!isNaN(c1))
  {
  if((c1+'').length==0) return ['_err_2','空字串']; //9802281053

//用 parseFloat(c1) 丟掉 c1 中的換行符號
  return [parseFloat(c1),0]; //9802281801
  }

if((c1+'').indexOf('_err_',0)>=0)
 return ['_err_3', '_err_3'] ; //9802281714

for(i0=0;i0<c1.length;i0++)
  {
if(c1.charCodeAt(i0)<32)break;  //9802281502
if(c1.charAt(i0)=='E')
    {
  c2+='e'; //9802281448
continue;
    }
if(c1.charAt(i0)=='I'
 ||c1.charAt(i0)=='i'
  )
    {
c2+='i';
imgLoc=i0; //9802241602
continue;
    }

if(c1.charAt(i0)=='+'
 ||c1.charAt(i0)=='-'
  )
    {
c2+=c1.charAt(i0);
if(i0>0&&c2.charAt(i0-1)!='e')cutLoc=i0;
continue;
    }

/** 9802281522
1+2*i praseFloat() 可以丟掉 '*'
1+i*2 造成錯誤，下面的 if(……)continue; 解決問題
/**/
if(c1.charAt(i0)=='*')continue;

c2+=c1.charAt(i0);
  } // for(i0=0;i0<c1.length;i0++)

c1=c2; //9802281453

var d1;
if((d1=(c1+'').indexOf(','))>0)
  {
if((c1+'').indexOf(',',d1+1)>0)
return ['_err_1','超過一個逗點 ","']; //9802280813

d1=c1.toString(); //9802280826
c1=d1.split(','); 
//9803241937用parseFloat()，否則產生意外的錯誤
c1[0]=parseFloat(c1[0]);
c1[1]=parseFloat(c1[1]);
return c1; //9802241810
  }

if(imgLoc==-1)
  {
c0[0]=parseFloat(c1);
c0[1]=0;
return c0; //9802241606
  } // if(cutLoc==-1)

if(imgLoc>cutLoc)
  {
c0[0]=c1.substring(0,cutLoc);
c0[1]=c1.substring(cutLoc,c1.length); //9802241628
c0[1]=c0[1].replace('i','');

if(c0[0].length==0)c0[0]=0; //"i"  9802241755
if(c0[1].length==0)c0[1]=1; //"i" 或者 "1+i" 9802241751
if(c0[1].length==1)
    {
if(c0[1].charAt(0)=='-')
c0[1]=-1; //"-i" 9802241756
else
if(c0[1].charAt(0)=='+')
c0[1]=+1; //"+i" 9802241757
    }

c0[0]=parseFloat(c0[0])
c0[1]=parseFloat(c0[1])
return c0; //9802241610
  } // if(imgLoc>cutLoc)

c0[1]=c1.substring(0,cutLoc);
if(c0[1].length==0)c0[1]=1; //"i" 或者 "1+i" 9802241752
c0[0]=c1.substring(cutLoc,c1.length);
c0[1]=c0[1].replace('i','');

if(c0[1].length==0)c0[1]=1; //9802262303
if(c0[1].length==1)
  {
if(c0[1].charAt(0)=='+')c0[1]=1; //9802280833
else
if(c0[1].charAt(0)=='-')c0[1]=-1; //9802280834
  }

c0[0]=parseFloat(c0[0])
c0[1]=parseFloat(c0[1])
return c0; //9802241611

} //9802241622 function toCplx(c1)





//複共軛
function conjf(c1) //
{
c1=toCplx(c1);
c1[1]=-c1[1];
return c1;
} //9802241703




//新複數
function cnewf(r1,r2) //
{
 var wk=new Array(2);

if(!isNaN(r1)
 &&!isNaN(r2)
  ) //9802251909
  {
wk[0]=r1;
wk[1]=r2;
return wk;
  }
r1=toCplx(r1); //9802241706
r2=toCplx(r2);
return [r1[0],r2[1]];  //9802261417
} //9802241704


//絕對值
function cabsf(c1)
{
c1=toCplx(c1);
return Math.sqrt(c1[0]*c1[0]+c1[1]*c1[1])
} //9802241705


//開平方
function csqrt(c1) //
{
c1=toCplx(c1);
if(cabsf(c1)<tiny1)
return [0.,0.];

  var c0=[0,0];

clength=Math.sqrt(cabsf(c1));
cangle =cargf(c1)/2.;
c0[0]=clength*Math.cos(cangle);
c0[1]=clength*Math.sin(cangle);
return c0;

} //9802241802





//複乘實
function cmulr(c1,r2) //
{
 var wk=new Array(2);

if(!isNaN(r2)) //9802251917
  {
c1=toCplx(c1); //9803211749
wk[0]=c1[0]*r2;
wk[1]=c1[1]*r2;
return wk;
  }

if(!isNaN(c1)) //9802251919
  {
r2=toCplx(r2); //9803211750
wk[0]=r2[0]*c1;
wk[1]=r2[1]*c1;
return wk;
  }

c1=toCplx(c1);
r2=toCplx(r2);

c1[0]=c1[0]*r2[0]
c1[1]=c1[1]*r2[0]
return c1
} //9802241819




//複轉角
function cargf(c1) //9802241743
{
c1=toCplx(c1);
return Math.atan2(c1[1],c1[0]);
}



//正至極
function cpolr(c1)
{
  var c0=[0,0];
c0[0]=cabsf(c1);
c0[1]=cargf(c1);

return c0;
} //9802241826



//極至正 9802241834
function cxryi(c1) //x 實數軸, y 虛數軸
{
c1=toCplx(c1);
  var c0=[0,0];
c0[0]=c1[0]*Math.cos(c1[1]);
c0[1]=c1[0]*Math.sin(c1[1]);
return c0;
} //9802241841





/**
98,03,01,22,09 我寫的 cpowf(c1,r1) 不完全
完全的 cpowf(c1,r1) 容許複數的複數次方
我寫的 cpowf(c1,r1) 容許複數的實數次方
 i 的 i 次方等於什麼呢？
98,03,01,22,11


98,03,01,22,12
(1+2i)^(3+4i)
=(ro1*exp(theta1))^(ro2*exp(theta2))
=[(ro1*exp(theta1))^(ro2)]^exp(theta2))


98,03,01,22,34
Euler's formula
exp(i*theta)=cos(theta)+i*sin(theta)
if theta=pi/2 then
exp(i*pi/2)=cos(pi/2)+i*sin(pi/2)
exp(i*pi/2)= 0 +i*1
exp(i*pi/2)= i

i^i = [exp(i*pi/2)]^i
i^i =  exp(i*i*pi/2)
i^i =  exp(-pi/2)
98,03,01,22,37 
虛數i 的虛數i 次方，變為實數 exp(-pi/2)
可能嗎？
98,03,01,22,40
exp(-PI/2)
= 0.20787957635076193

98,03,01,22,42
2^3=8
(2^3)^2=8*8=64
另外一方面
(2^3)^2=2^(3*2)=2^6=4^3=64

i^i = [exp(i*pi/2)]^i
i^i =  exp(i*i*pi/2)
98,03,01,22,44 對呀！
i^i =  exp(-pi/2)
i^i = 0.20787957635076193

i^(-i) = [exp(i*pi/2)]^(-i)
i^(-i) = [exp(i*(-i)*pi/2)]
i^(-i) = [exp(1*pi/2)]
i^(-i) = 4.810477380965351
98,03,01,22,47


98,03,02,08,12
a^1 = a
a^(m/m) = a
a^(i/i) = a
[a^(i)]^(1/i) = a
[i^(i)]^(1/i) = i

i^i =  exp(-pi/2)
i^i = 0.20787957635076193

[exp(-pi/2)]^(1/i) = i
98,03,02,08,15 對嗎？

[exp(-pi/2)]^(1/i) = 
[exp(-pi/2)]^(-i) = 
exp[(-pi/2)*(-i)] = 
exp[i*pi/2] = 
cos(pi/2)+i*sin(pi/2) =
0 + i*1 = i
98,03,02,08,17 對！！

98,03,02,08,29
 (a+b*i)^(p+q*i)
=(c*exp(i*d))^(p+q*i)
={[c*exp(i*d)]^p}*[c*exp(i*d))]^(q*i)
={[(c^p)*exp(i*p*d)]}
*{[c^(q*i)]*exp(i*d*q*i)}
={(c^p)*[cos(p*d)+i*sin(p*d)]}
*{[c^(q*i)]*exp(i*i*d*q)}

令 ww={(c^p)*[cos(p*d)+i*sin(p*d)]}
=ww
*{[c^(q*i)]}*exp(-d*q)
=ww
*{[(c^q)^i]}*exp(-d*q)
=ww
*{exp[log((c^q)^i)]}*exp(-d*q)
=ww
*{exp[i*log(c^q)]}*exp(-d*q)
=ww
*{cos(log(c^q))+i*sin(log(c^q))}*exp(-d*q)
={(c^p)*[cos(p*d)+i*sin(p*d)]}
*{cos(log(c^q))+i*sin(log(c^q))}
*exp(-d*q)
={(c^p)*exp(-d*q)}
*[cos(p*d)+i*sin(p*d)]
*{cos(log(c^q))+i*sin(log(c^q))}
={(c^p)*exp(-d*q)}
*{cos[p*d+log(c^q)]+i*sin[p*d+log(c^q)]}
98,03,02,08,51 答案對嗎？

驗證如下
(0+i)^(0+i)
c=1,d=pi/2;p=0,q=1
期待獲得 i^i =  exp(-pi/2)

(0+i)^(0+i)
={(c^p)*exp(-d*q)}
*{cos[p*d+log(c^q)]+i*sin[p*d+log(c^q)]}
={(1^0)*exp(-pi/2*1)}
*{cos[0*d+log(1^1)]+i*sin[0*d+log(1^1)]}
={1*exp(-pi/2)}
*{cos[0]+i*sin[0*pi/2+log(1)]}
=exp(-pi/2)
*{cos[0]+i*sin[0*pi/2+0]}
=exp(-pi/2)
*{1+i*0}
=exp(-pi/2)
*1
=exp(-pi/2)

98,03,02,09,04 驗證正確


98,03,02,09,06 最終公式為
 (a+b*i)^(p+q*i)
=(c*exp(i*d))^(p+q*i)
={(c^p)*exp(-d*q)}
*{cos[p*d+log(c^q)]+i*sin[p*d+log(c^q)]}
/**/


//任次方
// var tiny1=1.e-6; //全域變數，已經定義
//function cpowf(c1,r1) //9802241938
//function cpowf(complex1,complex2) //9803020824
function cpows(complex1,complex2) //9803171924 更名
{
complex1=toCplx(complex1);
complex2=toCplx(complex2);
complex1=cpolr(complex1)

  var complex0=[0,0];

var c=complex1[0]; //9803020912
var d=complex1[1];
var p=complex2[0];
var q=complex2[1];

with(Math) //9803020920
  {
complex0[0]=pow(c,p)*exp(-d*q)*cos(p*d+log(pow(c,q)));
complex0[1]=pow(c,p)*exp(-d*q)*sin(p*d+log(pow(c,q)));
  } //自由人證明只能獲得主值解，副值解全部消失 9803211230
//任次方的副值解請參考 http://freeman2.com/complex1.htm
//載 complex1.htm 找「9803182032」，任意次方的答案，
//主要依賴複數對數函數 clogf(complex1,n)) 9803250811

return complex0;
} // 任次方 function cpows(c1,r1)
//9802241958 任次方 function cpowr(c1,r1)
//9803020920 任次方 function cpowf(c1,c2)

//c^p 改為 Math.pow(c,p)
//c^q 改為 Math.pow(c,q)
//9803020920 
// (1.1+1.2i)^(1-i)=3.5135369259064406,1.2490745248831412
// 1/(1-i)=0.5+0.5i
//[3.5135369259064406,1.2490745248831412]^[0.5+0.5i]
//=1.1,1.2000000000000004
//9803020922 複數的任意複數次方成功！！
//98,03,02,11,13 刪除 cpowf(complex1,complex2) 的錯誤指令








/** 9803020819
刪除老的任次方函數，複數的實數次方。
改用新的任次方函數，複數的複數次方。
//任次方
//function cpowf(c1,r1) //9802241938
/**/
function cpowr(c1,r1) //9803020944 更名
{
c1=toCplx(c1);
r1=toCplx(r1);
c1=cpolr(c1)

  var c0=[0,0];
if(Math.abs(r1[0])<tiny1)
  {
return [1,0];
  }

  var aa=Math.pow(c1[0],r1[0]);
  var bb=c1[1]*r1[0]; //9802241953 更正

c0[0]=aa*Math.cos(bb);
c0[1]=aa*Math.sin(bb);

return c0;
} //9802241958 任次方 function cpowr(c1,r1)








var MAXDIM=100; //9802252112
var MINDIM=2;   //9802261423


//makeRawBox() 建立多項式係數小方格
function makeRawBox(mrbArg1) //9802251226
{
var vecSize=parseInt(boxNd.value); //9802251228
if(vecSize>MAXDIM)
  { //9802252115
vecSize=
boxNd.value=MAXDIM;
  }

if(vecSize<MINDIM)
  { //9802261424
vecSize=
boxNd.value=MINDIM;
  }

if(vecSize>30) //9802282214
  {
spanID01.innerHTML=
spanID02.innerHTML=''
+'多項式次數超過三十，精確度降低，誤差加大，偵錯輸出速度很慢<br>'
+'，<font color=red>建議使用不超過三十的次數，建議使用快速求根驗證輸出按鈕</font>'
  }

  var StrR='';
  var StrS='';
  var w0,w1,w0b,w1b,w2,w3;
  var boxperLine=vecSize; //9802042007
  if(boxperLine>4)boxperLine=4;
    for(w0=0;w0<=vecSize;w0++)
    {
w0b=''; if(w0<10)w0b='0';
StrR+=''
+'C'+w0b+w0+':<INPUT size=10 id=C'
+w0b+w0+' value="">'

if(((w0+1)%(boxperLine))==0
  )StrR+='<br>'; //9802251238
    }

spanRawBox.innerHTML=''
+StrR 
+'<br><INPUT type=button value="全刪" onclick=RdelAll(1) > '
+'C00 是常數項，C01 是一次項係數，餘類推。最高次項<br>'
+'係數通常為一。 "1+2i", "1,2", "2i+1" 是同一個複數。' //9802251240
;

} // function makeRawBox()
 //9802251242




function RdelAll(rdaArg1) //9802252108
{
  var w0;
  var value0=''; //9802171102 全刪 rdaArg1==1

if(rdaArg1==0)
value0=boxNe.value; //9802252121

  for(w0=0;w0<=boxNd.value;w0++)
    {
w0b=''; if(w0<10)w0b='0';
if(w0==boxNd.value)value0='1'; //9802272047
   eval('C'+w0b+w0+'.value=value0' );
    }
} // function RdelAll(rdaArg1)



function initial0()
{
makeRawBox()
}


var EPS=2.0e-6
var EPSS=6.e-8
var EPSN24=1.e-24;
var MAXM=100
var MAXIT=100



/*******************  以下為  zroots.c    ***********************

       Copyright (C) 1985, 1987 by Numerical Recipes Software
               P.O. Box 243, Cambridge, MA  02238

          zroots.c   Numerical Recipes in C,  page 281.

ftp://ftp.mecheng.asme.org/pub/C_LANG/C-RECIPE.ZIP

*/

function zroots(
a, //輸入項，多項式係數
m, //多項式次數
roots, //輸出項，多項式的根
polish) //是否精細解答？
{
if(m>MAXM) return 'm>MAXM';

if(m>=a.length) return 'm>=a.length';

var startpt=toCplx(boxNa.value);
var x=[0,0];

 var jj,j,i;
 var b=[0,0];
 var c=[0,0];
 var ad=new Array(MAXM); //9802251255

 for (j=0;j<=m;j++) 
 {
a[j]=toCplx(a[j])
ad[j]=a[j];
 }

var newRoot=[-1,-1]; //9802261130

 for (j=m;j>=1;j--) {

  x = startpt;

x= //9802261137
laguer(ad,j,x,EPS,0); //9802251715 刪除 '&'

  if (Math.abs(x[1]) <= (2.0*EPS*Math.abs(x[0]))) x[1]=0.0;

newRoot= //9802261131
  roots[j]=x;

  b=ad[j];
  for (jj=j-1;jj>=0;jj--) {
   c=ad[jj];
   ad[jj]=b;
   b=caddf(cmulf(x,b),c);
  } //for (jj=j-1;jj>=0;jj--)

 } //  for (j=m;j>=1;j--)

 if (polish)
  for (j=1;j<=m;j++)

roots[j]= //9802261138
   laguer(a,m,roots[j],EPS,1); //9802251720 刪除 '&'

 for (j=2;j<=m;j++) {
  x=roots[j];
  for (i=j-1;i>=1;i--) {
   if (roots[i][0] <= x[0]) break;
   roots[i+1]=roots[i];
  }
  roots[i+1]=x;
 }
} // function zroots()


/*******************************************/


/**
a, //輸入項，多項式係數
m, //多項式次數
                        x, //輸出值，多項式的根
x, //起始值 9802251630
eps, //誤差
polish) //是否精細解答？

  x = startpt;
laguer(ad,j,&x,EPS,0);

 9802251632 在 zroot() 中
   laguer(a,m,&roots[j],EPS,1);
 for (j=2;j<=m;j++) {
  x=roots[j];

&roots[j] 代表把第 [j] 根的空格送至  laguer()
答案（一次一個根）存在 &roots[j] 獲得答案之後
以 x=roots[j]; 將多項式降階，準備找下一個根
 9802251635 
/**/

/*******************  以下為  laguer.c   ***********************

       Copyright (C) 1985, 1987 by Numerical Recipes Software
               P.O. Box 243, Cambridge, MA  02238

          laguer.c   Numerical Recipes in C,  page 280.

ftp://ftp.mecheng.asme.org/pub/C_LANG/C-RECIPE.ZIP

*/

function laguer(a,m,x,eps,polish)
{
 var j,iter;
 var err,dxold,cdx,abx;
 var sq=new Array(2); //9802251613
 var h=new Array(2);
 var gp=new Array(2);
 var gm=new Array(2);
 var g2=new Array(2);
 var g=new Array(2);
 var b=new Array(2);
 var d=new Array(2);
 var dx=new Array(2);
 var f=new Array(2);
 var x1=new Array(2);
// var nrerror();

 var w1=new Array(2);
 var w2=new Array(2);
 var w3=new Array(2); //9802251852

//9802251638
var dxold=cabsf(x); //這是實數，不是複數，double dxold
 for (iter=1;iter<=MAXIT;iter++) {
  b=a[m]; // b=new Array(2);
  err=cabsf(b); //double err

  d=f=cnewf(0.0,0.0);   //9802251642

  abx=cabsf(x); //9802251641 double abx

  for (j=m-1;j>=0;j--) {
   f=caddf(cmulf(x,f),d);
   d=caddf(cmulf(x,d),b);
   b=caddf(cmulf(x,b),a[j]);
   err=cabsf(b)+abx*err;
  }
  err *= EPSS;
  if (cabsf(b) <= err)
  {
 return x; //9802261141
  }

  g=cdivf(d,b);

  g2=cmulf(g,g);

  h=csubf(g2,cmulr(2.0,cdivf(f,b)));

  sq=csqrt(cmulr((m-1),csubf(cmulr(m,h),g2)));

  gp=caddf(g,sq);
  gm=csubf(g,sq);

  if (cabsf(gp) < cabsf(gm))gp=gm;

//9803131645 增加條件，防止除以零
//if (cabsf(gp) <= err)
  if (cabsf(gp) <= tiny1) //9803131654
  {
spanID01.innerHTML=
spanID02.innerHTML='<font color=red>'
+'非常返回！除以零！ dx=cdivf(cnewf(m,0.0),gp) 9803131651;'
+'<br>gp='+gp
+'<br>送返值為 x='+x
+'</font><br>'

 return x; //9803131650
  }
/**
98,03,13,17,11
9803131711
解 x^6-1=0 時
不要用 0+0i 為初始值，（造成除以零）
改用 1+1i 為初始值，程式正常處理。
/**/

  dx=cdivf(cnewf(m,0.0),gp);

  x1=csubf(x,dx);

  if (Math.abs(x[0]-x1[0])<tiny1 //9802251933 更正
   && Math.abs(x[1]-x1[1])<tiny1)
  {
 return x; //9802261142
  }
  x=x1;
  cdx=cabsf(dx); //double cdx; dx=new Array(2);

  if (iter > 6 && cdx >= dxold)
  {
 return x; //9802261143
  }
  dxold=cdx;
  if (!polish)
   if (cdx <= eps*cabsf(x)) 
  {
 return x; //9802261144
  }
 } //  for (iter=1;iter<=MAXIT;iter++)

 return "在函數 laguer 中，迭代次數 "+iter+" 達到上限，不能繼續。 9802251700";
} // function laguer(a,m,x,eps,polish)



/*******************************************/


/**
dbg_zroots() 是有偵錯指令的 zroots()
/**/

function dbg_zroots(
a, //輸入項，多項式係數
m, //多項式次數
roots, //輸出項，多項式的根
polish) //是否精細解答？
{
var dbg01=''; //9802251456

if(m>MAXM) return 'm>MAXM';

if(m>=a.length)
  {
boxNd.value=
m=a.length-1;
dbg01+=''
+'m>a.length 錯誤！更正為 m=a.length='
+m+'<br>'
  }

var startpt=toCplx(boxNa.value);
var x=[0,0];

 var jj,j,i;
 var b=[0,0];
 var c=[0,0];
 var ad=new Array(MAXM); //9802251255

 for (j=0;j<=m;j++) 
 {
a[j]=toCplx(a[j])
ad[j]=a[j];
 }

var newRoot=[-1,-1]; //9802261130

 for (j=m;j>=1;j--) {

  x = startpt;

x= //9802261137
dbg_laguer(ad,j,x,EPS,0); //9802251715 刪除 '&'

  if (Math.abs(x[1]) <= (2.0*EPS*Math.abs(x[0]))) x[1]=0.0;

newRoot= //9802261131
  roots[j]=x;

  b=ad[j];
  for (jj=j-1;jj>=0;jj--) {
   c=ad[jj];
   ad[jj]=b;
   b=caddf(cmulf(x,b),c);
  } //for (jj=j-1;jj>=0;jj--)

boxd12.value+='\n\n下面是函數 dbg_zroots()\nm='
+m+'; 可能的根為﹕'+newRoot; //9802261132

var cc;

 for (cc=0;cc<=j;cc++) 
   {
boxd12.value+='\n'
+'係數為 '+ad[cc]+''
;
   }

 } //  for (j=m;j>=1;j--)

 if (polish)
  for (j=1;j<=m;j++)

roots[j]= //9802261138
   dbg_laguer(a,m,roots[j],EPS,1); //9802251720 刪除 '&'

 for (j=2;j<=m;j++) {
  x=roots[j];
  for (i=j-1;i>=1;i--) {
   if (roots[i][0] <= x[0]) break;
   roots[i+1]=roots[i];
  }
  roots[i+1]=x;
 }
} // function dbg_zroots()


/*******************************************/


/**
dbg_laguer() 是有偵錯指令的 laguer()
/**/

function dbg_laguer(a,m,x,eps,polish)
{
 var j,iter;
 var err,dxold,cdx,abx;
 var sq=new Array(2); //9802251613
 var h=new Array(2);
 var gp=new Array(2);
 var gm=new Array(2);
 var g2=new Array(2);
 var g=new Array(2);
 var b=new Array(2);
 var d=new Array(2);
 var dx=new Array(2);
 var f=new Array(2);
 var x1=new Array(2);

 var w1=new Array(2);
 var w2=new Array(2);
 var w3=new Array(2); //9802251852

//9802251638
var dxold=cabsf(x); //這是實數，不是複數，double dxold
 for (iter=1;iter<=MAXIT;iter++) {
  b=a[m]; // b=new Array(2);
  err=cabsf(b); //double err

  d=f=cnewf(0.0,0.0);   //9802251642

  abx=cabsf(x); //9802251641 double abx

  for (j=m-1;j>=0;j--) {
   f=caddf(cmulf(x,f),d);
   d=caddf(cmulf(x,d),b);
   b=caddf(cmulf(x,b),a[j]);
   err=cabsf(b)+abx*err;
  }
  err *= EPSS;
  if (cabsf(b) <= err)
  {
boxd12.value+='\n\n'
+'在函數 dbg_laguer() 內的第一個返回點，'
+'條件為 cabsf(b)<=err'
+'\ncabsf(b)='+cabsf(b)
+'\n容許誤差 err=cabsf(b)+abx*err ='+err
+'\n迭代次數 iter='+iter
+'\n可能的根為﹕'+x

// return;
 return x; //9802261141
  }

  g=cdivf(d,b);

  g2=cmulf(g,g);

  h=csubf(g2,cmulr(2.0,cdivf(f,b)));

  sq=csqrt(cmulr((m-1),csubf(cmulr(m,h),g2)));

  gp=caddf(g,sq);
  gm=csubf(g,sq);

  if (cabsf(gp) < cabsf(gm))gp=gm;


//9803131645 增加條件，防止除以零
//if (cabsf(gp) <= err)
  if (cabsf(gp) <= tiny1) //9803131654
  {
spanID01.innerHTML=
spanID02.innerHTML='<font color=red>'
+'非常返回！除以零！ dx=cdivf(cnewf(m,0.0),gp) 9803131651;'
+'<br>gp='+gp
+'<br>送返值為 x='+x
+'</font><br>'

 return x; //9803131650
  }

  dx=cdivf(cnewf(m,0.0),gp);
  x1=csubf(x,dx);

boxd12.value+=
'\n\n下面是函數 dbg_laguer() 內的偵錯值，'
+'不是任何返回點。\nm='+m+'; 可能的根為﹕'+x;

 for (j=0;j<=m;j++) 
 { //9803140447 刪除「9802261040」，增加「'x^'+j+' 」
boxd12.value+='\n'+'x^'+j+' 項的係數為 '+a[j]+'';
 }

  if (Math.abs(x[0]-x1[0])<tiny1 //9802251933 更正
   && Math.abs(x[1]-x1[1])<tiny1)
  {
boxd12.value+='\n\n在函數 dbg_laguer() 內的第二個返回點，條件為 \n'
+'abs(x[0]-x1[0])<tiny1, abs(x[0]-x1[0])='+Math.abs(x[0]-x1[0])+'\n'
+'abs(x[1]-x1[1])<tiny1, abs(x[1]-x1[1])='+Math.abs(x[1]-x1[1])+'\n'
+'tiny1='+tiny1+'\n可能的根為﹕'+x

 return x; //9802261142

  }
  x=x1;
  cdx=cabsf(dx); //double cdx; dx=new Array(2);

  if (iter > 6 && cdx >= dxold)
  {
boxd12.value+='\n\n在函數 dbg_laguer() 內的第三個返回點，條件為 \n'
+'iter > 6 && , iter='+iter+'\n'
+'cdx >= dxold, cdx='+cdx+'\n'
+'dxold='+dxold+'\n可能的根為﹕'+x

 return x; //9802261143
  }
  dxold=cdx;
  if (!polish)
   if (cdx <= eps*cabsf(x)) 
  {
boxd12.value+='\n\n在函數 dbg_laguer() 內的第四個返回點，條件為 \n'
+'(!polish) && , !polish='+(!polish)+'\n'
+'cdx <= eps*cabsf(x), cdx='+cdx+'\n'
+'eps*cabsf(x)='+(eps*cabsf(x))+'\n可能的根為﹕'+x
 return x; //9802261144
  }
 } //  for (iter=1;iter<=MAXIT;iter++)

 return "在函數 dbg_laguer 中，迭代次數 "+iter+" 達到上限，不能繼續。 9802251700";
} // function dbg_laguer(a,m,x,eps,polish)








/*******************************************/


/**
rmArg1=0  快速求根，驗證輸出
rmArg1=1  慢速求根，偵錯輸出
rmArg1=2  已知根值，反求係數
rmArg1=3  測試點代入多項式計值
/**/

function rootMan(rmArg1) //9802251310
{
if(rmArg1!=2 
 &&rmArg1!=3)
boxd11.value=boxd12.value=''; //9802261652

spanID01.innerHTML=
spanID02.innerHTML=
testToCplxID.innerHTML='';

var order0=parseInt(boxNd.value);
if(order0>MAXDIM)
  { //9802252115
order0=
boxNd.value=MAXDIM;
  }

if(order0<MINDIM)
  { //9802261656
order0=
boxNd.value=MINDIM;
  }

var i0,i0b;

var oStr1=''; //9802271201
var oStr2='下面是根代入多項式計值，如果結果為零，根為正確，否則錯誤。\n'
+'(3.e-7 不是三，是千萬分之三，可以算是零。) 9802271017\n';
var wk0=[0,0]; 9802271010

var i1=1; //9802262100
//零係數時，填入微量非零值，正負交錯，比較穩定。 9802262102
//如果題目是 x^5+1=0, 
//真正求解為 x^5+1.e-7*x^4-1.e-7*x^3+1.e-7*x^2-1.e-7*x^1+1=0

var coef0=new Array(order0+1)

if(rmArg1!=2) //9803010954 如果不是﹕已知根值，反求係數
for(i0=0;i0<=order0;i0++)
  {
i0b=''; if(i0<10)i0b='0';
 eval('coef0[i0]=C'+i0b+i0+'.value;' );

//9803081855 刪除下面 if(!(rmArg1==2))
//if(!(rmArg1==2)) //9802281854
    {
if(coef0[i0].length==0)
      {
spanID02.innerHTML=''
+'方格 C'+i0b+i0+' 沒有數字，請填入數字。'
return; //9802261702
      }

if(isNaN(coef0[i0]))
      {
var aa=toCplx(coef0[i0]); //9802261748
if(isNaN(aa[0])||isNaN(aa[1]))
        {
spanID02.innerHTML=''
+'方格 C'+i0b+i0+' 不是數字，請填入數字。'
return; //9802261704
        }
      }
    } //if(!(rmArg1==2&&i0==order0))

coef0[i0]=toCplx(coef0[i0]); //9802261027

//零係數產生麻煩 9802261727
if(cabsf(coef0[i0])<tiny1) 
if(rmArg1==1) // 9802261756
    {
i1=-i1; // 9802262103
coef0[i0][0]=tiny1*i1;
coef0[i0][1]=0;
    }
// 偵錯輸出時，把零係數改為 tiny1 (1.e-6)
// 驗證輸出時，零係數不改變，會導致程式停止工作
// 9802261757
  } // for(i0=0;i0<=order0;i0++)

oStr1=''
var testPt=['','']; //9802271903
testPt[0]=[0,0];
testPt[1]=[0,0];

  var str0='';
var w0,w1,w2,w3;

if(rmArg1==2  //已知根值，反求係數
 ||rmArg1==3) //測試點代入多項式計值 9802271915
  {
//方格一有一組測試點
  var updStr=boxd11.value; //9802281729 
if(!(updStr.charAt(updStr.length-1)=='\n'))
updStr+='\n'; //9802281737

//9802281951 為了
// if(rmArg1==2) //已知根值，反求係數 9802271130
// if(rmArg1==3) // 測試點代入多項式計值
//都能使用方格一的資料
//  for(w0=0;w0<updStr.length;w0++)
//必須提出
// if(rmArg1==3) // 測試點代入多項式計值
//之外。
//9802281953
//

w1=0;
w2=0;
  for(w0=0;w0<updStr.length;w0++)
    {
str0='';
if(updStr.charAt(w0)=='\n')
      {
str0=updStr.substring(w1,w0);
w1=w0+1; //9802271248
testPt[w2]=toCplx(str0);
w2++;
      }
    } // for(w0=0;w0<updStr.length;w0++)
  } // if(rmArg1==2 ||rmArg1==3)

if(rmArg1==3) // 測試點代入多項式計值 9802271838
  {
if(updStr.length==0)
    {
spanID01.innerHTML=
spanID02.innerHTML=
'請把一組測試點存入方格一，然後再點擊「請計值」按鈕。 9802271844';
return;
    }

for(i0=0;i0<testPt.length;i0++) //9802271907
    {
wk0=evfun(
     order0, //多項式次數
     coef0,  //多項式係數
     testPt[i0] //計值點
     )

oStr1+=''
+'第 '+i0+' 個測試點 '+testPt[i0]+'\n計值為 '+wk0+'\n'
+'絕對值為 '+cabsf(wk0)+' 不一定為零。\n'
    } //for(i0=0;i0<testPt.length;i0++)

boxd12.value=oStr1; //9802271913

return;
  } //if(rmArg1==3) // 測試點代入多項式計值


var roots=new Array(order0); //9802251515
var polish0=0;
if(chkbx01.checked)polish0=1;//9802271815

for(i0=0;i0<order0;i0++)
roots[i0]=new Array(2); //9802251600
//把單參數變數 roots[0] 改為
//雙參數變數 roots[0][0] 及 roots[0][1]
// roots[3][0] 是第三個根的實數[0]（由第零個根開始）
// roots[3][1] 是第三個根的虛數[1]

if(rmArg1==0) // 驗證輸出
  {
zroots(coef0,order0,roots,polish0);
for(i0=1;i0<=order0;i0++) //9802271010
    {
wk0=evfun(
     order0, //多項式次數
     coef0,  //多項式係數
     roots[i0] //計值點
     )

oStr2+=''
+'第 '+i0+' 個根 '+roots[i0]+'\n計值為 '+wk0+'\n'
+'絕對值為 '+cabsf(wk0)+' 應該為零！\n'
    }
  }
else
if(rmArg1==1) //9802261551 偵錯輸出
dbg_zroots(coef0,order0,roots,polish0);
else
if(rmArg1==2) //已知根值，反求係數 9802271130
  {
oStr2='已知根值如下\n';
    for(i=0;i<testPt.length;i++) //9803010957
    {
oStr2+=
testPt[i][0]
+(testPt[i][1]<0?'':'+')
+testPt[i][1]+'i\n'
; //9802282015
    }

oStr2+=
'\n對應於已知根的多項式如下﹕\n';
    coef0=makepoly(testPt.length, testPt); //9803011003

    for(i=0;i<=testPt.length;i++) //9803010958
    {
oStr1+=''
+coef0[i][0]
+(coef0[i][1]<0?'':'+') //9802271146
+coef0[i][1]+'i\n'
;

oStr2+=''
+'x^'+i+' 次項的係數﹕'+coef0[i][0]
+(coef0[i][1]<0?'':'+') //9802271146
+coef0[i][1]+'i\n'
;
    } // for(i=0;i<=testPt.length;i++)

if(boxNd.value!=testPt.length)
spanID01.innerHTML=   //9803011010
spanID02.innerHTML=''
+'<font color=red>請改變多項式次數 '+boxNd.value
+'，配合根的數目 '+testPt.length+'</font>';

  }   // if(rmArg1==2)


if(rmArg1!=2) //9802271147
  {
boxd11.value=''
+'下面是答案，複數多項式的根 （[1,2] 就是 1+2i）\n'
for(i0=1;i0<=order0;i0++)
boxd11.value+='第 '+i0+' 個根是 ['
+roots[i0]+']\n'

boxd11.value+='' //9802271540
+'\n下面也是答案，只有複數沒有文字\n';
for(i0=1;i0<=order0;i0++)
    {
boxd11.value+=''
+roots[i0][0]
+(roots[i0][1]<0?'':'+')
+roots[i0][1]+'i\n'
    }
  } // if(rmArg1!=2) 
else
boxd11.value=oStr1; //9802271202

if(rmArg1==0 //9802271020
 ||rmArg1==2 //9802271133
  )
boxd12.value=oStr2;

} // function rootMan(rmArg1)
// rootMan=根經理 ，根 root, 經理 manager





function sample0(arg1) //9802252054
{
var i0,i1,i2,i3;
if(arg1==1)
  {
boxNd.value=3;
makeRawBox();
C00.value=-6;
C01.value= 11;
C02.value=-6;
C03.value= 1;
spanID02.innerHTML=''
+'例題 01 的三個根為 +1, +2, +3 ; 9802252056'
  }

else //9802261013
if(arg1==2)
  {
boxNd.value=3;
makeRawBox();
C00.value='12-12i';
C01.value=' 22i';
C02.value='-6-6i';
C03.value=' 1';
spanID02.innerHTML=''
+'例題 02 的三個根為 1+1i, 2+2i, 3+3i ; 9802261016'
  }

else
if(arg1==3)
  {
boxNd.value=3;
makeRawBox();
C00.value=1;
C01.value=0;
C02.value=0;
C03.value=1;
spanID02.innerHTML=''
+'<font color=red>例題 03 為 1+x*x*x=0 ; 程式無法求解，請看方格一說明 9802261742</font>'

boxd11.value=''
+'如果初始值不是 0+0i ，沒有問題，否則產生下面的問題。\n'
+'偵錯輸出時，把零係數改為 tiny1 (1.e-6)\n'
+'若 tiny1 皆正或皆負，有錯誤的答案。若正負異號，有正確答案。\n'
+'驗證輸出時，零係數不改變，\n'
+'驗證輸出時，程式停止執行。 9802261757\n'
+'本卷使用 Numerical Recipes 的 laguer()\n'
+' laguer() 不能解 1+x*x*x=0 另外一方面，\n'
+'netlib 的函數 polrt() 可以獲得以下答案\n'
+'   -1           +0i\n'
+' +0.5   -0.8660254i\n'
+' +0.5   +0.8660254i\n'
+'本卷 polyroo1.htm 沒有使用 polrt() 因為\n'
+' polrt() 含有 goto 但是爪哇簡稿不容許 goto\n'
+'如果您提攜一把，在初始值方格填入 -1 那麼 laguer()\n'
+'也有正確解答。 9802261820\n'
+'零係數時，填入微量非零值，●正負交錯● 比較穩定。9802262102\n'
+'偵錯輸出時，採用此法。方格二顯示填入●正負交錯●微量非零值。\n'
+'驗證輸出時，就是零係數，無解。9802271626\n'
  }

else
if(arg1==4)
  {
boxNd.value=3;
makeRawBox();
C00.value='2-2i';
C01.value='6i';
C02.value='-3-3i';
C03.value='1';
spanID02.innerHTML=''
+'例題 04 三重根為 1+i,1+i,1+i ; 程式可以求解 9802261749'
  }

else
if(arg1==5)
  {
boxNd.value=10;
makeRawBox();
C00.value=1024;
C01.value=-5120;
C02.value=11520;
C03.value=-15360;
C04.value=13440;
C05.value=-8064;
C06.value=3360;
C07.value=-960;
C08.value=180;
C09.value=-20;
C10.value=1;

spanID02.innerHTML=''
+'例題 05 十重根為 2 ; 程式可以求解 9802261806'
  }

} //function sample0(arg1)






/*
8904102338 開始

在 2000-04-09-21-25 我找到了以前讀的數值分析課本，
此書為

An Introduction to Numerical Analysis
（介紹數值分析）

作者為艾金生教授（ Prof. Kendall E. Atkinson ）
1978 年 John Wiley & Sons Inc. 出版

該書第七十九頁說﹕

[[[

多項式
p(x) =  A0 + A1*x + A2*x*x + .... + An*x**n  ----- 2.63式

其中 A0, A1, ... An 為 n+1 個係數，及有 An != 0

我們用一種有效的方法求多項式之值，此法稱為「連套乘法」
，又稱為「何諾爾乘法」（Hornor's method）。以最簡單明瞭
的公式表示如下﹕

p(x) = A0 + x*(A1 + x*(A2 + ... + x*(An-1 + An*x)...)
                                             ----- 2.64式

[ 自由人註﹕其中 An-1 表示 x**(n-1) 次項之係數 ]

解2.63式，需執行 n次加法及 2*n - 1次乘法，
解2.64式，需執行 n次加法及    n   次乘法，
節省許多工作。

]]]

所以我重寫  evfun()  以求較佳效率。

8904102355 止

-----     -----     -----     -----     -----     -----     -----

8904110734 始

求解函數值是如何運作？

老版本 evfun1() 為簡單、直接的把公式中的  x 改為試點值，與係
數相乘之後，再全部相加。

新版本 evfun()，請先看下面二次多項式

p(x) =  A0 + A1*X + A2*x*X   ------ 第一式
     =  A0 + (A1 + A2*x)*X   ------ 第二式

式中，大寫的 'X'及小寫的 'x'，完全相同，只是為便於討論而取用
大寫的 'X'。

第一式有三個乘號 '*' 及兩個加號 '+'，
第二式有兩個乘號 '*' 及兩個加號 '+'，

兩種表示法得到相同的結果，但是第二式省略一次乘法運算！

第一式中，大寫的 'X'與 A1 相乘之後又與 A2*x 相乘，

為什麼不調整加法與乘法之次序？先讓 A1 及 A2*x 相加，其相加的
結果再與大寫的 'X'乘一次（不是乘兩次）便可得到答案！

「連套乘法」的指令也比較簡單。

由第二式可知最內層有乘 x（ "*x" ）之項為第二次項的係數 A2 。

由第2.64式可知最內層有乘 x（ "*x" ）之項為第ｎ次項的係數An。

這是工作開始的起點，故程式指令第一行為

  wk1 = coef2[dim2];

對二次多項式而言，上行指令為

  wk1 = A2;

因為二次多項式的 coef2[dim2]  就是 A2。

第二步為進入環路計算 (A1 + A2 *x) ，
這個計算也就是計算　 (A1 + wk1*x)。下行指令

    wk2 = Cmul(wk1, point2);

為 A2 及 x  的相乘﹕ A2*x （也就是 wk1*x）

其中 "point2" 改為 'x'

"point2"  為待求函數值的已知點。把 "point2" 的數值代入公式中
所有的 'x'，此處 "point2" 為一個複數。

第三步為計算 (A1 + A2*x)，這一道運算在下行指令完成﹕

    wk1 = Cadd(coef2[i-1], wk2);

此處  wk2         為   A2*x
      coef2[i-1]  為   A1

到這一步， wk1  的值為  (A1 + A2*x)


繼續相同的步驟計算  A0 + (A1 + A2*x)*X
我們知道這一項就是  A0 +  新的_wk1  *X

所有程序與前面相同，最後所得的 wk1  為所求之答案。

用指令

  return wk1;

把答案送回原呼程式。

8904110811 結束


9802270955 納入 evfun()
9802271000 完成修改至爪哇簡稿指令
/**/

function evfun(
     dim2,   //多項式次數
     coef2,  //多項式係數
     point2  //計值點
     )
{
  var i, j, k;
  var wk1=[0,0];
  var wk2=[0,0];

  wk1 = coef2[dim2];

  for(i=dim2;i>0;i--)
  {
    wk2 = cmulf(wk1, point2);
    wk1 = caddf(coef2[i-1], wk2);
  }
  return wk1;
}
/* 89,04,10,23,37 完成 */


/****************  以上為 evfun()     ************************/











/****************  以下為 makepoly()   89,04,05,19,35. *******/


/**

８９０４２４１８２８始

void
makepoly(int dim2, fcomplex wk0[])

輸入為已知的複數根，
輸出為對應的多項式。

假設問題為三階多項式，則
在進入 makepoly() 時 wk0[] 有三個根
在離開 makepoly() 時 wk0[] 有四個係數

●●　在原呼程式，使用者必須多準備一個儲存空間，
●●　存放最高次係數 [1.0, 0.0]

因為最高次係數 [1.0, 0.0] 為一個常數，不必送還原呼程式，也知
道最高次係數必定為 [1.0, 0.0] ，實際上可以略除而只送還三個係
數，但因為 ZROOTS() 容許非一的最高次係數，在送入 ZROOTS() 時
必須要加入最高次項係數，所以 makepoly() 沒有略除[1.0, 0.0]。

#define MAXCOE 21

89,04,05,19,35 start makepoly()
89,04,05,21,50 done  makepoly()
89,04,06,00,09 finish debug.


89,04,06,10,05 開始英文註解

如果  第一根=[1+2i],  第二根=[3+4i].  若 z  代表複數，則

多項式 = (z1 - [1+2i]) * (z2 - [3+4i]) 

因為第一根=[1+2i]，在展開時使用(z1 - [1+2i])，所以首先要
對 [1+2i] 異號，改為 - [1+2i]。指令如下

  for(i=0; i<dim2;i++)
  {
    wk0[i].r = -wk0[i].r;
    wk0[i].i = -wk0[i].i;
  }

上述指令把根先異號。


z1 及 z2 的係數皆為 1+0i, 簡化為 1

建立多項式，需要把 (z1 - [1+2i]) * (z2 - [3+4i]) 相乘展開
，如下﹕

             1       [-1-2i]
<*>          1       [-3-4i]
-------------------------------------
           [-3-4i]   [-1-2i]*[-3-4i]
<+>  1     [-1-2i]
-------------------------------------
     1     [-4-6i]   [-5+10i]    <---  答案，二次多項式。


wk1[] 及 wk2[]  皆為中間過程，其起始值可以先存入第一根，
如下述指令

  wk2[0].r = wk1[0].r = wk0[0].r;
  wk2[0].i = wk1[0].i = wk0[0].i;
  wk2[1].r = wk1[1].r = 1.0;

同時配合的是（ i=1  開始）

  for(i=1; i<dim2;i++) { ...  wk0[i] ... }

而不是（ i=0  不從零開始）

  for(i=0; i<dim2;i++) { ...  wk0[i] ... }

因為第一個根 wk0[0] 已經存入 wk2[0] 及 wk1[0] 中。


乘法操作 <*> 在下列指令執行，
    for(j=0; j<=i;j++)
    {
      wk1[j] = Cmul(wk1[j],wk0[i]);
    }


加法操作 <+> 在下列指令執行，
    for(j=i; j>0;j--)
    {
      wk2[j] = Cadd(wk1[j],wk2[j-1]);
    }

最高次項係數必定為 [1., 0.], 不必計算，直接定值，
    wk2[i+1].r = 1.0;

常數項只有乘法運算，沒有加法運算，故由 wk1[0] 複製至 wk2[0]
    wk2[0].r = wk1[0].r;
    wk2[0].i = wk1[0].i;

wk1[] 及 wk2[]  皆為中間過程，在乘、加之後，結果存在 wk2[]
中，由  wk2[] 複製至 wk1[]  ，使 wk1[]  含有最新資料。繼續乘
至高階式。

高階項的產生起因於  Cmul(wk1[j],wk0[i]);  中的 wk0[i] 。

當
  for(i=1; i<dim2;i++) {...}

執行完畢時，所有的根都已經乘入多項式，此時 wk2[]含有正確答案
，但是只有 wk0[]  把答案送回原呼程式，故最後一步為把答案存入
 wk0[]  中，指令如下，

  for(k=0; k<=i+1;k++)
  {
    wk0[k] = wk2[k];
  }

89,04,06,10,29 英文註解止

８９０４２４１９０３中文註解止。

9802271042 納入 makepoly(int dim2, fcomplex wk0[])
9802271059 完成
/**/

function makepoly( //9802271042
 dim2, //多項式次數 9802271108 註解
 wk0   //二參數變數，wk0[參一][參二]，其中[參一]決定第幾個根，
  ) //[參二]可以是 [0] 代表實數部份，可以是 [1] 代表虛數部份
{   //例如 wk0[2][1] 是第二個根（由第零根開始）的虛數值。
  var i, j, k;
  var value2=[0,0];
  var wk1=new Array(MAXDIM); //MAXDIM=100
  var wk2=new Array(MAXDIM);

  for(i=0;i<MAXDIM;i++)
  {
wk1[i]=[0,0];
wk2[i]=[0,0];
  }

  for(i=0; i<dim2;i++)
  {
    wk0[i][0] = -wk0[i][0];
    wk0[i][1] = -wk0[i][1]; //9802271052
  }

  wk2[0][0] = wk1[0][0] = wk0[0][0];
  wk2[0][1] = wk1[0][1] = wk0[0][1];
  wk2[1][0] = wk1[1][0] = 1.0;

  for(i=1; i<dim2;i++)
  {
    for(j=0; j<=i;j++)
    {
      wk1[j] = cmulf(wk1[j],wk0[i]);
    }

    for(j=i; j>0;j--)
    {
      wk2[j] = caddf(wk1[j],wk2[j-1]);
    }

    wk2[i+1][0] = 1.0;
    wk2[0][0] = wk1[0][0];  /** 8904052110 */
    wk2[0][1] = wk1[0][1];  /** 8904052146 */

    for(j=0; j<=i+1;j++)
    {
      wk1[j] = wk2[j];
    }
  }

  return wk2; //9802271056

} //9802271059

/*********  以上為 makepoly() 及複數運算程式 ************/




/**
fillCoef(fcArg1)
fcArg1==0 填充亂數為係數
fcArg1==1 方格一是係數，填入小方格
fcArg1==2 內定測試轉為複數，程式在方格一填入內定值
fcArg1==2 我的測試轉為複數，程式不在方格一填入內定值
9803092005
/**/
function fillCoef(fcArg1) //9802271208
{
makeRawBox(); //9802271211

  var updStr=boxd11.value; //9802281740

if(updStr.length==0
 &&fcArg1>0 //9802271308
  )
  {
spanID01.innerHTML=
spanID02.innerHTML=
'請把更新數字存入方格一，然後再點擊「填入」或者「測試」按鈕。 9802271215';
return;
  }
//9803091956 注意到上面的〔「更新」按鈕〕是
//正交長一軸系展開法 的按鈕，
//複數實數係數多項式求根 網頁使用
//方格一是係數，填入小方格
//9803091958
//改用〔「填入」或者「測試」按鈕〕

if(!(updStr.charAt(updStr.length-1)=='\n'))
updStr+='\n' //9802281741 更新輸入字串

  var dbg03=''; //9802271243
  var StrR='';
  var w0,w1,w0b,w1b,w2,w3;
var newCoef=[0,0]; //9802271220

var coef1=['',''];
coef1[0]=[0,0];
coef1[1]=[0,0]; //9802271230
var str0='';

w1=0;
w2=0;
  for(w0=0;w0<updStr.length;w0++)
  {
str0='';
if(updStr.charAt(w0)=='\n')
    {
str0=updStr.substring(w1,w0);

w1=w0+1; //9802271248

coef1[w2]=toCplx(str0);

dbg03+='' //9802281049
+'&$ w2='+w2+', 輸入值 "'+str0+'"\n'
+'toCplx() 轉換為 ['+coef1[w2]+']\n'
;

w2++;
    }
  } // for(w0=0;w0<updStr.length;w0++)

var vecSize=parseInt(boxNd.value); //9802251228


  for(w0=0;w0<=vecSize;w0++)
  {
if(fcArg1==0)
    {
newCoef[0]=10*Math.random(); //填充亂數
newCoef[1]=10*Math.random();
    }
else
if(fcArg1==1)
    {
newCoef=toCplx(coef1[w0]); //9802272059
    }

w0b=''; if(w0<10)w0b='0';
StrR=''
+'C'+w0b+w0+'.value="'
+newCoef[0]
+(newCoef[1]<0?'':'+')
+newCoef[1]
+'i";'; //9802271254

//數字尾端有換行符號，造成錯誤的斷行字串。
//在 9802281801 用 parseFloat(c1) 
//丟掉 c1 中的換行符號 9802281808 記錄

eval(StrR); //9802271238
  } // for(w0=0;w0<vecSize;w0++)

boxd12.value=dbg03; //+'\n9802271246';

if(fcArg1==2)
testToCplxID.innerHTML=
'<font color=red>測試數據轉為複數形式，輸出於方格二</font>'

} // function fillCoef(fcArg1) //9802271239


//-->
</SCRIPT>



</HEAD>

<body link="#FF0000" vlink="#0000FF"
 alink="#50A000" bgcolor="#ccfcfc"
 onload=javascript:initial0()
 >
<!-- onload=javascript:initial0()-->

<br>
<font size=+3>
<a href=#begin0>
複數實數係數多項式求根
</a></font><!-- 9802251221-->
 &nbsp; 
<a href=#doc01>
說明
</a>

<br>
<!--98,02,26,19,18 去訪 nr.com-->
<a href=http://www.nr.com/>本卷主力程式的發行網站</a>
　
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<a href=http://www.amazon.com/Numerical-Recipes-3rd-Scientific-Computing/review/product/0521880688/ref=cm_cr_dp_all_summary?ie=UTF8&showViewpoints=1&sortBy=bySubmissionDateDescending>
數值配方 Numerical-Recipes 讀者評論
</a>

<br>
本卷編程環境是微軟 MSIE 6.0
 &nbsp; 
<a href=#doc24>更新 98,03,24</a>

<br>
<font color=red size=+2>
本卷是個人的閑暇作業，輸出結果不能
<br>
保證正確，請先核對結果是否合理。<!--9803011242-->
</font>
<br>

<br>

<script src='http://freeman2.com/linksec1.js' language='javascript'></script>
<br>
<script src="http://freeman2.com/rocsiteu.js" language="javascript"></script>
<br>

<pre><font size=+2><a name=index01>&lt;a name=index01&gt;</a> 
<a href=#begin0>複數實數係數多項式求根輸入表格</a>
<a href=#testFunc>測試複數函數</a>
<a href=#doc01>複數實數係數多項式求根說明</a>
<a href=#doc03>五項功能</a>
<a href=#doc12>初始值方格的使用法</a>
<a href=#doc14>填充亂數，簡化輸入</a>
<a href=#doc16>「任次方」﹕任意複數的實數次方</a>
<a href=#doc18>一百次多項式</a>
<a href=#doc20>「任次方」﹕任意複數的複數次方</a>
<a href=tutc0006.htm#index01>公式導證，自修第六卷</a>，另卷
</font></pre>

<br>

<a name=begin0>&lt;a name=begin0&gt;</a>　<a href=#index01>目錄</a>
複數實數係數多項式求根
<br>

<INPUT type=button value="快速求根
驗證輸出"
 onclick="javascript:rootMan(0)"><!--9802261555-->
&nbsp;
<input type="button" value="慢速求根
偵錯輸出"
 onclick="javascript:rootMan(1)" />
&nbsp;
<input type="button" value="已知根值
反求係數"
 onclick="javascript:rootMan(2)" />

&nbsp;
<input type="button" value="方格一是係數
填入小方格"
 onclick="javascript:fillCoef(1)" />

<br>
例題

<input onclick="javascript:sample0(1)"
 type="button" value="01" />

<input onclick="javascript:sample0(2)"
 type="button" value="02" />

<input onclick="javascript:sample0(3)"
 type="button" value="03" />

<input onclick="javascript:sample0(4)"
 type="button" value="04" />

<input onclick="javascript:sample0(5)"
 type="button" value="05" />

<input type="button" value="填充亂數為係數"
 onclick="javascript:fillCoef(0)" />

<br>


多項式次數
<INPUT size=5 id=boxNd value='3'
 onchange='makeRawBox()'
> 2 至 100
 
<INPUT type=button value='二'
 onclick='boxNd.value=2,makeRawBox()' >
 
<INPUT type=button value='三'
 onclick='boxNd.value=3,makeRawBox()' >
 
<INPUT type=button value='四'
 onclick='boxNd.value=4,makeRawBox()' >
 
<INPUT type=button value='五'
 onclick='boxNd.value=5,makeRawBox()' >
 
<INPUT type=button value='六'
 onclick='boxNd.value=6,makeRawBox()' >
 
<INPUT type=button value='七'
 onclick='boxNd.value=7,makeRawBox()' >
 
<INPUT type=button value='八'
 onclick='boxNd.value=8,makeRawBox()' >
 
<INPUT type=button value='九'
 onclick='boxNd.value=9,makeRawBox()' >
 
<INPUT type=button value='十'
 onclick='boxNd.value=10,makeRawBox()' >

<br>

精微輸出<!--9802271812-->
<input type="checkbox"
 name="chkbx01" id="chkbx01" />打勾是，無勾否


　 100 次方的答案，誤差太大！<!--9802271801-->

<br>

<!--
初始值
<INPUT size=5 id=boxNa value='0+0i'
> 

<INPUT type=button value="歸零"
 onclick="boxNa.value='0+0i'" >

98,03,13,17,11
9803131711
解 x^6-1=0 時
不要用 0+0i 為初始值，（造成除以零）
改用 1+1i 為初始值，程式正常處理。
-->
初始值
<INPUT size=5 id=boxNa value='1+1i'
> 

<INPUT type=button value="歸一"
 onclick="boxNa.value='1+1i'" >

；　 

<INPUT type=button value="全填"
 onclick=RdelAll(0) >
<INPUT size=5 id=boxNe value="0"
 >

<br>
<span id=spanRawBox></span><!--9802251226-->

<br>

<span id=spanID02></span>

<br>

<!--9802271834 不用 evfun2() 改用 rootMan(3) -->
上面的 C 方格代表一個多項式，下面的方格一有一組測試點，
<br>
不一定是根
<INPUT type=button value="請計值"
 onclick="javascript:rootMan(3)">
將測試點代入多項式計值，輸出於方格二

<br>
<a name=box01></a>

方格一。答案輸出

<INPUT onclick='javascript:window.clipboardData.setData("Text",document.getElementById("boxd11").value.toString())'
 type=button value="複製一">
<INPUT onclick='document.getElementById("boxd11").value=""'
 type=button value="刪除一">


<INPUT type=button value="快速求根
驗證輸出"
 onclick="javascript:rootMan(0)"><!--9802261555-->
&nbsp;
<input type="button" value="慢速求根
偵錯輸出"
 onclick="javascript:rootMan(1)" />


<br><!--9802261552使用方格一及方格二-->
<TEXTAREA
 id=boxd11
 name=boxd11 rows=6
 cols=65
 >
</TEXTAREA>

<br>

<a name=box02></a>

方格二。偵錯驗證

<INPUT onclick='javascript:window.clipboardData.setData("Text",document.getElementById("boxd12").value.toString())'
 type=button value="複製二">
<INPUT onclick='document.getElementById("boxd12").value=""'
 type=button value="刪除二">

&nbsp;
<input type="button" value="已知根值
反求係數"
 onclick="javascript:rootMan(2)" />

&nbsp;
<input type="button" value="方格一是係數
填入小方格"
 onclick="javascript:fillCoef(1)" />

<br>
<TEXTAREA
 id=boxd12
 name=boxd12 rows=6 
 cols=65
 >
</TEXTAREA>


<br>


<input type="button" value="內定測試轉為複數"
 onclick="javascript:boxd11.value=testInp0,fillCoef(2)" />
使用者不必輸入，點擊按鈕，輸出於方格二。
<br>
<input type="button" value="我的測試轉為複數"
 onclick="javascript:fillCoef(2)" />
　輸入於方格一，點擊按鈕，輸出於方格二。
<br>

<span id=testToCplxID></span>


<br>

<a name=box02></a>

方格三。偵錯輸出<!--9803131411 使用方格三-->

<INPUT onclick='javascript:window.clipboardData.setData("Text",document.getElementById("boxd13").value.toString())'
 type=button value="複製三">
<INPUT onclick='document.getElementById("boxd13").value=""'
 type=button value="刪除三">


<br>
<TEXTAREA
 id=boxd13
 name=boxd13 rows=6 
 cols=65
 >
當解 x^6-1=0 時，程式停止工作，加入偵錯指令，存於方格三，
發覺初始值 0+0i 造成除以零。初始值改為 1+1i 解決問題。
98,03,13,21,32
</TEXTAREA>


<br>
<br>
<a name=testFunc>&lt;a name=testFunc&gt;</a>　<a href=#index01>目錄</a>
<br>

<table border=0><tr><td>　　　</td><!--9802241210-->
<td>第一複數</td><td>第二複數</td>
<td>方格一二輸出　　　　　函數名稱</td>

</tr><tr>

<td>

<input onclick="javascript:ComplexZ1.value=caddf(ComplexX1.value,ComplexY1.value)"
 type="button" value="複數和" />

</td><td>
<INPUT value="1.1+1.2i" id=ComplexX1 size=8></td><td>
<INPUT value="3.2-2.4i" id=ComplexY1 size=8></td><td>
<INPUT value="ComplexX1,Y1" id=ComplexZ1 size=18 >

<input onclick="javascript:ComplexZ1.value=ComplexX1.value=ComplexY1.value=''"
 type="button" value="刪" />

 caddf(c1,c2)</td>
</tr>




<tr>

<td>
<input onclick="javascript:ComplexZ2.value=csubf(ComplexX2.value,ComplexY2.value)"
 type="button" value="複數差" />
</td><td>
<INPUT value="2.6+5.1i" id=ComplexX2 size=8></td><td>
<INPUT value="4.2i-3.7" id=ComplexY2 size=8></td><td>
<INPUT value="ComplexX2,Y2" id=ComplexZ2 size=18 >

<input onclick="javascript:ComplexZ2.value=ComplexX2.value=ComplexY2.value=''"
 type="button" value="刪" />

 csubf(c1,c2)</td>
</tr>




<tr>

<td>
<input onclick="javascript:ComplexZ3.value=cmulf(ComplexX3.value,ComplexY3.value)"
 type="button" value="複數積" />
</td><td>
<INPUT value="1.1+1.2i" id=ComplexX3 size=8></td><td>
<INPUT value="3.2-2.4i" id=ComplexY3 size=8></td><td>
<INPUT value="ComplexX3,Y3" id=ComplexZ3 size=18 >

<input onclick="javascript:ComplexZ3.value=ComplexX3.value=ComplexY3.value=''"
 type="button" value="刪" />

 cmulf(c1,c2)</td>
</tr>



<tr>

<td>
<input onclick="javascript:ComplexZ4.value=cdivf(ComplexX4.value,ComplexY4.value)"
 type="button" value="複數商" />
</td><td>
<INPUT value="1.1+1.2i" id=ComplexX4 size=8></td><td>
<INPUT value="3.2-2.4i" id=ComplexY4 size=8></td><td>
<INPUT value="ComplexX4,Y4" id=ComplexZ4 size=18 >

<input onclick="javascript:ComplexZ4.value=ComplexX4.value=ComplexY4.value=''"
 type="button" value="刪" />

 cdivf(c1,c2)</td>
</tr>



<tr>

<td>
<input onclick="javascript:ComplexZ5.value=conjf(ComplexX5.value)"
 type="button" value="複共軛" />
</td><td>
<INPUT value="1.1+1.2i" id=ComplexX5 size=8></td><td>
<INPUT value="不用" id=ComplexY5 size=8></td><td>
<INPUT value="ComplexX5,Y5" id=ComplexZ5 size=18 >

<input onclick="javascript:ComplexZ5.value=ComplexX5.value=ComplexY5.value=''"
 type="button" value="刪" />

 conjf(c1)</td>
</tr>



<tr>

<td>
<input onclick="javascript:ComplexZ6.value=cnewf(ComplexX6.value,ComplexY6.value)"
 type="button" value="新複數" />
</td><td>
<INPUT value="1.1+1.2i" id=ComplexX6 size=8></td><td>
<INPUT value="3.2-2.4i" id=ComplexY6 size=8></td><td>
<INPUT value="ComplexX6,Y6" id=ComplexZ6 size=18 >

<input onclick="javascript:ComplexZ6.value=ComplexX6.value=ComplexY6.value=''"
 type="button" value="刪" />

 cnewf(r1,r2)</td>
</tr>



<tr>

<td>
<input onclick="javascript:ComplexZ7.value=cabsf(ComplexX7.value)"
 type="button" value="絕對值" />
</td><td>
<INPUT value="1.1+1.2i" id=ComplexX7 size=8></td><td>
<INPUT value="不用" id=ComplexY7 size=8></td><td>
<INPUT value="ComplexX7,Y7" id=ComplexZ7 size=18 >

<input onclick="javascript:ComplexZ7.value=ComplexX7.value=ComplexY7.value=''"
 type="button" value="刪" />

 cabsf(c1)</td>
</tr>



<tr>

<td>
<input onclick="javascript:ComplexZ8.value=csqrt(ComplexX8.value)"
 type="button" value="開平方" />
</td><td>
<INPUT value="1.1+1.2i" id=ComplexX8 size=8></td><td>
<INPUT value="不用" id=ComplexY8 size=8></td><td>
<INPUT value="ComplexX8,Y8" id=ComplexZ8 size=18 >

<input onclick="javascript:ComplexZ8.value=ComplexX8.value=ComplexY8.value=''"
 type="button" value="刪" />

 csqrt(c1)</td>
</tr>



<tr>

<td>
<input onclick="javascript:ComplexZ9.value=cmulr(ComplexX9.value,ComplexY9.value)"
 type="button" value="複乘實" />
</td><td>
<INPUT value="1.1+1.2i" id=ComplexX9 size=8></td><td>
<INPUT value="3.2-2.4i" id=ComplexY9 size=8></td><td>
<INPUT value="ComplexX9,Y9" id=ComplexZ9 size=18 >

<input onclick="javascript:ComplexZ9.value=ComplexX9.value=ComplexY9.value=''"
 type="button" value="刪" />

 cmulr(c1,r2)</td>

</tr>


<tr>

<td><!--9802241746-->
<input onclick="javascript:ComplexZ0.value=cargf(ComplexX0.value)"
 type="button" value="複轉角" />
</td><td>
<INPUT value="1.1+1.2i" id=ComplexX0 size=8></td><td>
<INPUT value="不用" id=ComplexY0 size=8></td><td>
<INPUT value="ComplexX0,Y0" id=ComplexZ0 size=18 >

<input onclick="javascript:ComplexZ0.value=ComplexX0.value=ComplexY0.value=''"
 type="button" value="刪" />

 cargf(c1)</td>

</tr>


<tr>

<td><!--9802241824-->
<input onclick="javascript:ComplexZa.value=cpolr(ComplexXa.value)"
 type="button" value="正至極" />
</td><td>
<INPUT value="1.1+1.2i" id=ComplexXa size=8></td><td>
<INPUT value="不用" id=ComplexYa size=8></td><td>
<INPUT value="ComplexXa,Ya" id=ComplexZa size=18 >

<input onclick="javascript:ComplexZa.value=ComplexXa.value=ComplexYa.value=''"
 type="button" value="刪" />

 cpolr(c1)</td>

</tr>





<tr>

<td><!--9802241824-->
<input onclick="javascript:ComplexZb.value=cxryi(ComplexXb.value)"
 type="button" value="極至正" />
</td><td>
<INPUT value="1.6278820596099707,0.8288490587889791" id=ComplexXb size=8></td><td>
<INPUT value="不用" id=ComplexYb size=8></td><td>
<INPUT value="ComplexXb,Yb" id=ComplexZb size=18 >

<input onclick="javascript:ComplexZb.value=ComplexXb.value=ComplexYb.value=''"
 type="button" value="刪" />

 cxryi(c1)</td>

</tr>








<tr>

<td><!--9802241937-->
<input onclick="javascript:ComplexZc.value=cpows(ComplexXc.value,ComplexYc.value)"
 type="button" value="任次方" />
</td><td>
<INPUT value="1.1+1.2i" id=ComplexXc size=8></td><td>
<INPUT value="1-i" id=ComplexYc size=8></td><td>
<INPUT value="ComplexXc,Yc" id=ComplexZc size=18 >

<input onclick="javascript:ComplexZc.value=ComplexXc.value=ComplexYc.value=''"
 type="button" value="刪" />

 cpows(c1,c2)</td>

</tr>






</table> <!-- 9802242024 完成 -->

<br>
<a href=http://freeman2.com/complex1.htm>
complex1.htm</a> 
有比較好的任意次方函數 cpowf(c1,c2,nB,nE)
<br>


<input onclick="javascript:resize0(1)"
 type="button" value="輸入方格尺寸" />
<INPUT value="8" id=resizeID1 size=8>
　；　
<input onclick="javascript:resize0(2)"
 type="button" value="輸出方格尺寸" />
<INPUT value="18" id=resizeID2 size=8>


<script type="text/javascript">
<!--

function resize0(arg01) //9802242020
{
  var s1='Complex';
  var s2='.size=';
  var s0='';
  var array0=['0','1','2','3','4','5','6','7','8','9','a','b','c'];
  var newSiz1=resizeID1.value;
  var newSiz2=resizeID2.value;

  var q0,q1,q2;

  for(q0=0;q0<array0.length;q0++)
  {
if(arg01==1)
    {
s0='Complex'+'X'+array0[q0]+'.size='+newSiz1;
eval(s0);
s0='Complex'+'Y'+array0[q0]+'.size='+newSiz1;
eval(s0);
    }
else
if(arg01==2)
    {
s0='Complex'+'Z'+array0[q0]+'.size='+newSiz2;
eval(s0);
    }
  }
} //9802242035


//-->
</SCRIPT>


<br>

<span id=spanID01></span>

<br>
<br>
<pre><font size=+2>
<a name="doc01">&lt;a name="doc01"&gt;</a>　<a href=#index01>目錄</a><font color=red size=+2>
本卷是個人的閑暇作業，輸出結果不能
保證正確，請先核對結果是否合理。<!--9803011242-->
</font>
98,02,28,13,39始
本卷是複數實數係數多項式求根程式，主力函數來自
Numerical Recipes Software 的 laguer.c
86,11,05,05,27 取得 Numerical-Recipes 的函數
ftp://ftp.mecheng.asme.org/pub/C_LANG/C-RECIPE.ZIP
（這個網址已經失效）
<a name="doc02">&lt;a name="doc02"&gt;</a>
98,02,24,12,06 開始寫 complex0.htm 複數加減乘除
98,02,25,12,15 寫 polyroot.htm 求多項式根
使用 Numerical-Recipes 的函數 laguer()
把 C 語言指令改為爪哇簡稿語言指令。
98,02,26,11,43 得到多項式根的正確輸出
98,02,26,19,18 去訪 nr.com 看版權規章
98,02,26,19,41 取閱 http://www.nr.com/licenses/
98,02,26,20,02 發覺 ftp.mecheng.asme.org 已經失效
98,02,27 增加功能，輸入已知根，求多項式的係數。
98,02,28 改進程式，為使用者提供便利，例如「測試轉為複數」
通常使用實數係數多項式，因為實數是複數的一部分，所以，
本卷可以解實數係數多項式的問題，只要在 C00, C01, C02
..... 方格填入一個數字（實數）就可以。

98,02,28,13,52止
<a name="doc03">&lt;a name="doc03"&gt;</a>　<a href=#index01>目錄</a><font color=red>
本卷是個人的閑暇作業，輸出結果不能
保證正確，請先核對結果是否合理。<!--9803011242-->
</font>
98,02,28,16,26始
本卷有如下五項功能
第一項、求解複數係數多項式的根
第二項、將測試點代入複數係數多項式，然後計算數值。
第三項、已知根值，反求多項式的係數。
第四項、測試不同複數表達法的轉換結果。
第五項、測試複數運算函數。

<a name="doc04">&lt;a name="doc04"&gt;</a>
說明如下。
第一項、求解複數係數多項式的根
這是本卷的主要功能。
步驟一，在「多項式次數〔  〕2 至 100」的空格〔  〕中，
　　　　填入多項式次數，例如 3 ，程式自動<!--9802281635中文變方格，關卷、開卷-->準備四個方格，
　　　　三次多項式需要四個係數，某次多項式需要某加一個
　　　　係數。
<a name="doc05">&lt;a name="doc05"&gt;</a>
步驟二，在空格〔  〕中填入多項式係數，大多數情況是實數
　　　　係數，此時，在一個空格填入一個數字就可以了，如
　　　　果是複數係數，例如 1+2i ，可以填入 1+2i 或者
　　　　2i+1 或者 1,2 三者都產生正確的內部變數 。
　　　　多數情況，多項式的最高次項係數為實數一 1+0i 。
　　　　（函數 laguer() 容許非一的最高次項係數）
<a name="doc06">&lt;a name="doc06"&gt;</a>
步驟三，點擊執行按鈕。有兩個按鈕可以選擇。
　　　　「快速求根，驗證輸出」及「慢速求根，偵錯輸出」
　　　　答案存於方格一，偵錯驗證存於方格二。
　　　　驗證輸出，除了展示根的答案之外，也展示每個根的
　　　　多項式計值，完全精確的計值結果為零，若計值結果
　　　　在 -1.e-7 至 +1.e-7 之間，答案算是滿意。
　　　　「慢速求根，偵錯輸出」有執行過程的中間值，如果
　　　　您懷疑中間過程有問題，可以用「慢速求根」按鈕。
　　　　超過二十次方的「慢速求根」很耗時，主要是輸出字
　　　　串太長，電腦到處尋覓存放空間。
9802281658此
<a name="doc07">&lt;a name="doc07"&gt;</a><font color=red>
本卷是個人的閑暇作業，輸出結果不能
保證正確，請先核對結果是否合理。<!--9803011242-->
</font>
第二項、將測試點代入複數係數多項式，然後計算數值。
　　　　用第一項功能找到一個根的時候，如果多項式計值不
　　　　理想，距離零太遠，此時，可以改變根值，存入方格
　　　　一，在方格一的上面找下面兩行字，
上面的 C 方格代表一個多項式，下面的方格一有一組測試點， 
不一定是根〔請計值〕將測試點代入多項式計值，輸出於方格二
　　　　點擊〔請計值〕按鈕，輸出於方格二，
9802281704止
<a name="doc08">&lt;a name="doc08"&gt;</a>
9802281837始
　　　　在使用第二項功能時，必須已經填滿多項式的係數方
　　　　格，才能夠計值。

第三項、已知根值，反求多項式的係數。
　　　　假設是三個根，先點擊「2 至 100」右側的「三」。
　　　　其次，把已知根填入方格一，一行一個根，然後，在
　　　　「方格二。偵錯驗證」這一行，點擊「已知根值，反
　　　　求係數」，剛剛填入的已知根數值，在方格一消失，
　　　　9802281847止 9802282025始
　　　　方格一變為對應的多項式的係數。方格二有已知根數
　　　　值及係數。
　　　　方格一的係數，便利填入係數小方格，此時
　　　　點擊「方格一是係數，填入小方格」，係數填入方格

　　　　點擊「快速求根，驗證輸出」。如果一切順利，應該
　　　　得到剛才輸入的根。
　　　　9802282036此
<a name="doc09">&lt;a name="doc09"&gt;</a><font color=red>
本卷是個人的閑暇作業，輸出結果不能
保證正確，請先核對結果是否合理。<!--9803011242-->
</font>
第四項、測試不同複數表達法的轉換結果。
　　　　在方格二的下面有
「內定測試轉為複數」使用者不必輸入，點擊按鈕，輸出於方格二。 
「我的測試轉為複數」輸入於方格一，點擊按鈕，輸出於方格二。
　　　　點擊「內定測試轉為複數」，方格一有測試字串，
　　　　方格二有 toCplx() 轉換後的字串。主要目的為
　　　　測試函數 toCplx() 
　　　　至於「我的測試轉為複數」按鈕，方格一需要先填入
　　　　使用者的測試字串，然後點擊「我的測試轉為複數」
　　　　
<a name="doc10">&lt;a name="doc10"&gt;</a>
第五項、測試複數運算函數。
　　　　到「第一複數 第二複數 方格一二輸出　　函數名稱」
　　　　這一行，一個函數佔一行，點擊左側按鈕，於是
　　　　第一複數及第二複數可以加減乘除。輸出於第三列
　　　　方格。主要為編程者提供測試。
9802282046止
<a name="doc11">&lt;a name="doc11"&gt;</a><font color=red>
本卷是個人的閑暇作業，輸出結果不能
保證正確，請先核對結果是否合理。<!--9803011242-->
</font>
9802282219始
下面說明三點事項。

<a name="doc12">&lt;a name="doc12"&gt;</a>　<a href=#index01>目錄</a>
第一
程式使用迭代法求根，初始值為 0+0i ，如果求得的根為
[[
第 1 個根 -0.9988389295286827,0.33966125914902345
計值為 -0.007944743411053112,0.008009045986170804
絕對值為 0.011281124300178174 應該為零！
]]
絕對值為 0.011281124300178174 不理想。
<a name="doc13">&lt;a name="doc13"&gt;</a>
改進的方法是把第 1 個根 
-0.9988389295286827,0.33966125914902345
填入初始值方格，第二次執行，得到
[[
第 1 個根 -0.9988389707116815,0.3396529909955216
計值為 -1.7822854303517488e-11,4.598099678787548e-12
絕對值為 1.840642975105379e-11 應該為零！
]]
絕對值為 1.840642975105379e-11 改進許多。
這是初始值方格利用的方法。

<a name="doc14">&lt;a name="doc14"&gt;</a>　<a href=#index01>目錄</a>
第二
「填充亂數為係數」便利測試求根功能，不必特意輸入係數。

第三
精微輸出 打勾是，無勾否
如果打勾，程式會多執行幾個回合，改進答案。
9802282227止
<a name="doc15">&lt;a name="doc15"&gt;</a><font color=red>
本卷是個人的閑暇作業，輸出結果不能
保證正確，請先核對結果是否合理。<!--9803011242-->
</font>
9803011025
多項式的係數一個一個填入係數小方格嗎？太麻煩。
<font color=red>把所有係數填入方格一，一行一個係數，第一行
填入常數項，第二行填入一次項係數，餘類推。然後，
點擊「方格一是係數，填入小方格」，程式自動填入。</font>
9803011028

<a name="doc16">&lt;a name="doc16"&gt;</a>　<a href=#index01>目錄</a>
9803011202
關於「任次方」函數 cpowf(c1,r1) （任意次方函數），
〔上面的 r1 表示限制於實數次方 9803020925〕
讀者可以做下面的實驗
先執行 1.1+1.2i 的 0.3333333333333 次方
也就是 1.1+1.2i 的開立方，答案為
1.1317496330101923,0.3208898125926623
把答案貼入左方格
把中方格的 0.33333333333333 改為 3 
點擊「任次方」按鈕，執行三次方運算（開立方的反運算）
獲得答案為
1.1000000000000003,1.1999999999999997
這就是原有的 1.1+1.2i 
這一套驗證手續，表示「任次方」函數沒有錯誤，但是，
不能保證其他驗證值一定正確。

「任次方」的指數如果是 0.5 這就是開平方。
9803011210
<a name="doc17">&lt;a name="doc17"&gt;</a><font color=red>
本卷是個人的閑暇作業，輸出結果不能
保證正確，請先核對結果是否合理。<!--9803011242-->
</font>
「正至極」的「正」意指 1.1+1.2i 表示法。
「正至極」的「極」意指 「1.1+1.2i」的絕對值及
 「1.1+1.2i」的轉角值表示法。
「1.1+1.2i」的極示法為
1.6278820596099707,0.8288490587889791
其中
1.6278820596099707 是「1.1+1.2i」的絕對值
0.8288490587889791 是「1.1+1.2i」的轉角值

「a+bi」的絕對值是 (a*a+b*b) 的開平方，
「a+bi」的轉角值是 atan2(b,a) 。
9803011217

<a name="doc18">&lt;a name="doc18"&gt;</a>　<a href=#index01>目錄</a>
執行 100 次方的多項式，獲得的答案，誤差太大！
正確的誤差應該是零，但是， 100 次方的多項式，
答案誤差值大小變動極大，下面是三次實驗，都是填
充亂數至 100 次方多項式的係數方格。

第 1 個根 -27.17957626448283,1.9752765245766852
計值為 1.4449038238060076e+144,2.189848792957901e+143
絕對值為 1.4614039268489098e+144 應該為零！

第 1 個根 -1.1807950170562482,0.31480027636011354
計值為 -24.248959138920753,3.6002667849790333
絕對值為 24.514769838692583 應該為零！

第 1 個根 -1.187684780721903,-0.3148747224749606
計值為 -0.000011195001952124528,0.000001952277281391801
絕對值為 0.000011363954210199483 應該為零！

<a name="doc19">&lt;a name="doc19"&gt;</a>
以「快速求根」按鈕執行 100 次方的多項式，大約耗時
十秒至二十秒，由電腦能力決定時間。

以「慢速求根」按鈕執行 100 次方的多項式，大約耗時
一小時。因為輸出資料太長。
9803011233
<font color=red>
本卷是個人的閑暇作業，輸出結果不能
保證正確，請先核對結果是否合理。<!--9803011242-->
</font>
<a name="doc20">&lt;a name="doc20"&gt;</a>　<a href=#index01>目錄</a>
98,03,02,09,30 始
98,03,01,15,07 第一次上載
複數實數係數多項式求根 polyroo1.htm
進入國際網路
http://freeman2.com/polyroo1.htm
這個版本，「任次方」功能限制於任意複數的<font color=red>任意實數次方</font>。
上載後多加思考，為什麼不寫一個任意複數的<font color=red>任意複數次方</font>？
[[
98,03,01,22,09 我寫的 cpowf(c1,r1) 不完全
完全的 cpowf(c1,r1) 容許複數的複數次方
.....
//9803020922 複數的任意複數次方成功！！
]]
經過數小時的工作，完成任意複數的任意複數次方。
但是，仍然與往常一樣，沒有他人驗證，自以為是的結果，
不一定正確。<font color=red>
本卷是個人的閑暇作業，輸出結果不能
保證正確，請先核對結果是否合理。<!--9803011242-->
</font>
任意複數的任意複數次方的導證在本卷源碼的註解中，
請在源碼找「98,03,01,22,09 我寫的」
98,03,02,09,41 止

<a name="doc21">&lt;a name="doc21"&gt;</a>
98,03,02,11,18 始
98,03,02,10,23 第二次更新上載 polyroo1.htm 
98,03,02,10,49 發覺 polyroo1.htm 的答案是
i^i = 1+0i !! 錯誤 ！！正確答案是
i^i = exp(-PI/2)
i^i = 0.20787957635076193+0i
98,03,02,11,13 刪除錯誤的條件返回指令。
98,03,02,11,22 止

<a name="doc22">&lt;a name="doc22"&gt;</a>
98,03,13,17,24 始
數值配方 Numerical-Recipes 原始程式使用的初始值
為 Complex(0.0,0.0) 如下
[[
  x=Complex(0.0,0.0);
  laguer(ad,j,&x,EPS,0);
]]
自由人在寫程式時，照樣以 0+0i 為初始值，當求解
x^6-1=0
時，全式為
x^6 +0*x^5 +0*x^4 +0*x^3 +0*x^2 +0*x^1 -1=0
有五個零係數，無法求解，十分困惑。今天
[[
98,03,13,17,11
解 x^6-1=0 時
不要用 0+0i 為初始值，（造成除以零）
改用 1+1i 為初始值，程式正常處理。
]]
發覺以 0+0i 為初始值造成除以零，改用 1+1i 為初始值，
程式正常處理。現在更改程式，內定用 1+1i 為初始值。
98,03,13,17,33 止

<a name="doc23">&lt;a name="doc23"&gt;</a>
98,03,14,04,55 始
[[
98,03,14,04,40 實數多項式引入虛數初始值是否
產生麻煩？
答案﹕沒有麻煩
初始值 0+1i
例題 05 十重根為 2 ; 
答案正確，沒有滲入虛數
]]
98,03,14,04,42 發覺執行偵錯輸出時，方格二的資料是
9802261040 係數為 -960,0
程式完畢時，不需要偵錯字串「9802261040」
「慢速求根，偵錯輸出」於方格二的資料，更改為
x^7 項的係數為 -960,0
98,03,14,04,59 止

98,03,14,05,07 電腦銀幕巨大閃動，駭人閃動，
電腦銀幕快要報銷了！這是目前唯一可以使用的銀幕！

<a name="doc24">&lt;a name="doc24"&gt;</a>
98,03,24,21,19 始
請看本卷源碼
9803241937用parseFloat()，否則產生意外的錯誤
使用 parseFloat()， 送回數字，否則送回字串。
98,03,24,21,21 止
</font></pre>

<hr><br><br>

爪哇簡稿卷目錄
<br>
<a href=http://freeman2.com/jsindex1.htm>
http://freeman2.com/jsindex1.htm
</a>

<br>

空間曲線投影器
<br>
<a href=http://freeman2.com/curve3d1.htm >
http://freeman2.com/curve3d1.htm 
</a>
<br>


點對直線之垂足（眼足網頁）
<br>
<a href=http://freeman2.com/eyefoot1.htm >
http://freeman2.com/eyefoot1.htm 
</a>
<br>

正交長一軸系展開法 Gram-Schmidt Process
<br>
<a href=http://freeman2.com/gramsch1.htm>
http://freeman2.com/gramsch1.htm
</a>
<br>

複數實數係數多項式求根
<br>
<a href=http://freeman2.com/polyroo1.htm>
http://freeman2.com/polyroo1.htm
</a>
<br>

複變函數
<br>
<a href=http://freeman2.com/complex1.htm>
http://freeman2.com/complex1.htm
</a>
<br>

<br>
<br>
本卷複數實數係數多項式求根 polyroo1.htm 建立於
<br>
中華民國九十八年二月二十四日。
<br>
<br>

本卷網址
<br>
<a href=http://freeman2.com/polyroo1.htm>
http://freeman2.com/polyroo1.htm
</a>
<br>
首次上載　　98,03,01

<br>
<br>
謝謝光臨自由人網站。
<br>
自由人　　中華民國九十八年三月一日。
<br>
98,03,01,11,02

<br>

<br>
<script src='http://freeman2.com/linksec1.js' language='javascript'></script>
<br>
<script src='http://freeman2.com/linkall1.js' language='javascript'></script>

</BODY>
</HTML>
<!--
98,02,24,12,06 存卷為
C:\$fm\js\root\complex0.htm

98,02,25,12,15
copy complex0.htm polyroot.htm

98,02,26 得到正確輸出

98,02,27,10,32
例題 04 三重根為 1+i,1+i,1+i ; 程式可以求解
C00:2-2i
C01:6i
C02:-3-3i
C03:1
上面最高次項係數是一
下面最高次項係數不是一（四個係數全部乘以 1+i ）
C00:4
C01:-6+6i
C02:-6i
C03:1+i
故意造成最高次項係數不是一，看程式能不能解答。
98,02,27,10,35 可以正常解答
-->
�