在寫「複數實數係數多項式求根」
http://freeman2.com/polyroo1.htm
時，需要求任意複數的任意複數次方，假設
第一個任意複數為 (a+b*i)
第二個任意複數為 (p+q*i)
那麼 (a+b*i)^(p+q*i) 是什麼值？
得到通式之後，指定特例係數，於是解答題目
x^i = i -----(A00)
求解 x
所以，下面的求解 x 需要由 (a+b*i)^(p+q*i)
的通式開始。 （98,03,04,11,09 此）
<a name="prob0a02">
在 98,03,02,08,29 開始下面的計算
(a+b*i)^(p+q*i)
=(c*exp(i*d))^(p+q*i) ----(A01)
={[c*exp(i*d)]^p}*[c*exp(i*d))]^(q*i) ----(A02)
={[(c^p)*exp(i*p*d)]} ----(A03)
*{[c^(q*i)]*exp(i*d*q*i)}
={(c^p)*[cos(p*d)+i*sin(p*d)]} ----(A04)
*{[c^(q*i)]*exp(i*i*d*q)}
<a name="prob0a03">
令 ww={(c^p)*[cos(p*d)+i*sin(p*d)]} ----(A05)
=ww
*{[c^(q*i)]}*exp(-d*q) ----(A06)
=ww
*{[(c^q)^i]}*exp(-d*q) ----(A07)
=ww
*{exp[log((c^q)^i)]}*exp(-d*q) ----(A08)
=ww
*{exp[i*log(c^q)]}*exp(-d*q) ----(A09)
<a name="prob0a04">
=ww ----(A10)
*{cos(log(c^q))+i*sin(log(c^q))}*exp(-d*q)
={(c^p)*[cos(p*d)+i*sin(p*d)]}
*{cos(log(c^q))+i*sin(log(c^q))}
*exp(-d*q) ----(A11)
={(c^p)*exp(-d*q)}
*[cos(p*d)+i*sin(p*d)]
*{cos(log(c^q))+i*sin(log(c^q))} ----(A12)
={(c^p)*exp(-d*q)} ----(A13)
*{cos[p*d+log(c^q)]+i*sin[p*d+log(c^q)]}
98,03,02,08,51 答案對嗎？
<a name="prob0a05">
逐步說明如下
導證步驟引用歐拉公式 Euler's formula
exp(i*t)=cos(t)+i*sin(t) ----(A91)
（歐拉公式的證明請參考數學課本，例如
Calculus and Analytic Geometry 6th ed.
George B. Thomas, Jr. and Ross L. Finney
ISBN 0-201-16290-3
第六六八頁，證明使用泰勒展開式。
）
<a name="prob0a06">
歐拉公式是一個非常重要的公式，這個公式把
正坐標軸的複數 cos(t)+i*sin(t) 改為
極坐標軸的複數 exp(i*t)
歐拉公式限定正坐標軸複數長度為一，對於長度不為一的任意
複數，更改如下。假設﹕任意複數 (a+b*i) 長度為 L
L=(a*a+b*b)的開平方
(a+b*i) = (a+b*i)*1 = (a+b*i)*L/L
(a+b*i) = L*(a+b*i)/L = L*((a/L) +(b/L)*i)
至此 (a/L) +(b/L)*i 是一個長度為一的複數，可以套用
歐拉公式。
起步的 (a+b*i)^(p+q*i)
=(c*exp(i*d))^(p+q*i) ----(A01)
把底數 (a+b*i) 改為極坐標 (c*exp(i*d))
這兩種表示法是全等的。同時指角複數 (p+q*i)
維持正坐標軸表示法（不改為極坐標軸），便利指數運算。
此處的 c 就是前面的長度 L 。
<a name="prob0a07">
下面是第二步
=(c*exp(i*d))^(p+q*i) ----(A01)
={[c*exp(i*d)]^p}*[c*exp(i*d))]^(q*i) ----(A02)
把指數 (p+q*i) 實虛分離，底數不變。
第三步
={[(c^p)*exp(i*p*d)]} ----(A03)
*{[c^(q*i)]*exp(i*d*q*i)}
把指數納入底數。使用公式為
(m^n)^o = m^(n*o) ----(A92)
<a name="prob0a08">
(A92)式的解釋如下 (98,03,04,11,33 此)
〔〔
98,03,01,22,42
2^3=8
(2^3)^2=8*8=64
另外一方面
(2^3)^2=2^(3*2)=2^6=4^3=64
〕〕
<a name="prob0a09">
第四步
={[(c^p)*exp(i*p*d)]} ----(A03)
*{[c^(q*i)]*exp(i*d*q*i)}
={(c^p)*[cos(p*d)+i*sin(p*d)]} ----(A04)
*{[c^(q*i)]*exp(i*i*d*q)}
第一乘數 [(c^p)*exp(i*p*d)] 引用歐拉公式展開為
(c^p)*[cos(p*d)+i*sin(p*d)]
第二乘數 [c^(q*i)]*exp(i*d*q*i) 把兩個虛數 i
放在一起。
<a name="prob0a10">
第五步，令第一乘數為
ww={(c^p)*[cos(p*d)+i*sin(p*d)]} ----(A05)
簡化後面的表示法。
第六步，用簡化的第一乘數 ww 及第二乘數的 i*i 就是 -1
=ww
*{[c^(q*i)]}*exp(-d*q) ----(A06)
<a name="prob0a11">
第七步，利用 (A92) 公式提出虛數 i 便利第十步引用
歐拉公式。
=ww
*{[(c^q)^i]}*exp(-d*q) ----(A07)
歐拉公式是
exp(i*t)=cos(t)+i*sin(t) ----(A91)
但是，(A07)式的 [(c^q)^i] 沒有 exp()
需要把 [(c^q)^i] 放入 exp() 之中。我們知道
exp() 及 log() 是兩個反向運算的函數，換言之，
exp(log(Y))=Y ----(A93)
(A07)式的 [(c^q)^i] 不在 exp() 之中嗎？
簡單！
<a name="prob0a12">
第八步
=ww
*{exp[log((c^q)^i)]}*exp(-d*q) ----(A08)
利用(A93)式把 [(c^q)^i] 放入 exp() 之中
但是，
歐拉公式是
exp(i*t)=cos(t)+i*sin(t) ----(A91)
需要虛數 i 乘一個函數，然而 (A08) 式是
exp[log((c^q)^i)]
虛數 i 在 (c^q)^i 中為指數位置，正好碰上對數函數
log((c^q)^i)
可以改為
i*log(c^q)
<a name="prob0a13">
這就是第九步
=ww
*{exp[i*log(c^q)]}*exp(-d*q) ----(A09)
至此，第六步的 [c^(q*i)] 改為 exp[i*log(c^q)]
第十步，引用歐拉公式得到
=ww ----(A10)
*{cos(log(c^q))+i*sin(log(c^q))}*exp(-d*q)
<a name="prob0a14">
第十一步，還原第五步的第一乘數 ww
={(c^p)*[cos(p*d)+i*sin(p*d)]}
*{cos(log(c^q))+i*sin(log(c^q))}
*exp(-d*q) ----(A11)
第十二步，簡化、調整
={(c^p)*exp(-d*q)}
*[cos(p*d)+i*sin(p*d)]
*{cos(log(c^q))+i*sin(log(c^q))} ----(A12)
〔提示﹕cos(p*d) 乘 cos(log(c^q))
角度相加，變為 cos[p*d+log(c^q)]
同法處理正弦值。在極坐標表示法中，兩個複數
相乘，二者相位角相加。 9803111111 〕
<a name="prob0a15"> 目錄
第十三步， //公式左手側，起點，便利總觀全式
(a+b*i)^(p+q*i)=(c*exp(i*d))^(p+q*i)
最終公式 //公式右手側，答案 [9803131121 加入]
={(c^p)*exp(-d*q)} ----(A13)
*{ cos[p*d+log(c^q)]
+i*sin[p*d+log(c^q)]
}
98,03,02,08,51 答案對嗎？（對）
98,03,04,11,56 記錄至此
<a name="add2npi1">
98,03,14,09,58 始
因為答案以三角函數表示，而三角函數是周期性函數，
加或者減任何 2*PI, 4*PI, 2*n*PI 不改變三角
函數值，所以，
當 n 是整數時，對任何角度 x 下述公式成立
cos(x)=cos(x+2*n*PI)
sin(x)=sin(x+2*n*PI)
以三角函數表示的答案，有無限多組解答，
納入 2*n*PI 之後，最終公式 為
(a+b*i)^(p+q*i)=(c*exp(i*d))^(p+q*i)
={(c^p)*exp(-d*q)} ----(A13add2npi)
*{ cos[p*d+log(c^q)+2*n*PI]
+i*sin[p*d+log(c^q)+2*n*PI]
} 公式中 n 是任意整數。
98,03,14,10,04 止
<a name="add2npi2">
98,03,15,23,51 始
上面的 +2*n*PI 沒有幫助。
2*n*PI 加於輻角 p*d+log(c^q)，如果答案的輻角使用
於三角函數，那麼，加減 2*n*PI 不改變三角函數值，例如，
exp(ix)=cos(x)+i*sin(x)
相比於
exp(i(x+2*n*PI)) = cos(x+2*n*PI)
+i*sin(x+2*n*PI)
公式左手側為多種輸入值（不同的 n 值），產生一組解答。
〔 cos(x+2*n*PI) 及 cos(x) 數值相同 〕
也就是，答案中，不必考慮 2*n*PI 。
<a name="add2npi3"> 目錄
反之，如果答案的輻角使用於非三角函數，例如，
log(z) = log(abs(z)) + i*(arg(z)+2*n*PI)
此時，2*n*PI 中，不同的 n 值產生不同的答案，於是
2*n*PI 不可遺漏。
很久沒有讀複變函數，最近幾天才注意到「輻角」的中文
名詞，及輻角的數學表示法 arg()。今天，九十八年三月
十五日，寫複數電腦程式時，注意到一至多的複變函數及
多至一的複變函數，使用 2*n*PI 的差異。
本卷是個人的閑暇作業，
輸出結果不能保證正確，請先核對結果是否合理。
談論內容不能保證正確，請處處置疑。
98,03,16,00,18 止
<a name="prob0a16">
(A13)式是一個通式，指定常數值之後，就可以得到
題目
x^i = i
求解 x
的答案 x
下面是另外一段工作記錄
98,03,04,11,59 記錄至此
<a name="prob0a17">
98,03,03,22,22
x^i=i
求 x
答案 x=exp(pi/2)
[[
98,03,02,09,06 最終公式為
(a+b*i)^(p+q*i)
=(c*exp(i*d))^(p+q*i)
={(c^p)*exp(-d*q)} ----(A13)
*{cos[p*d+log(c^q)]+i*sin[p*d+log(c^q)]}
]]
<a name="prob0a18"> 目錄
題目是 x^i=i -----(A00)
左手側為通式
(c*exp(i*d))^(p+q*i)
的特例
現在指定
p=0, q=1 -----(A21)
於是左手側特例為
(c*exp(i*d))^(0+1*i)
也就是
(c*exp(i*d))^(i) -----(A22)
吻合題目的指角為虛數 i
(A22) 中 c 及 d 是待求的未知。
<a name="prob0a19">
最終公式的右手側是
={(c^p)*exp(-d*q)} ----(A13)
*{cos[p*d+log(c^q)]+i*sin[p*d+log(c^q)]}
題目(A00)的右手側是 i -----(A23)
利用 (A21) 重寫 (A23) 如下
右手側 = i = 1*(0+1*i) -----(A24)
<a name="prob0a20">
對比 (A13) 與 (A24) 必須有下述關係
(c^p)*exp(-d*q)=1 -----(A25)
p*d+log(c^q)=PI/2 -----(A26)
〔 提示﹕cos(PI/2)=0, sin(PI/2)=1 〕
(A21) 代入 (A25) 得到
(c^0)*exp(-d*1)=1 -----(A27)
(A21) 代入 (A26) 得到
0*d+log(c^1)=PI/2 -----(A28)
<a name="prob0a21">
由 (A27) 得到
1*exp(-d*1)=1 ==> -d=0 (e^0=1) -----(A29)
由 (A28) 及 (A29) 得到
0*d+log(c^1)=PI/2 ==> c=exp(PI/2) -----(A30)
最後的結果是
c=exp(2*n*PI+PI/2) //9803071933 增加 2*n*PI
d=0
代入 (a+b*i)=c*exp(i*d) 得到
(a+b*i)=c*exp(i*d)=exp(PI/2)*exp(i*0)
(a+b*i)=exp(PI/2)*1
(a+b*i)=exp(PI/2)
<a name="prob0a22"> 目錄
題目
x^i = i
求解 x
正確答案是
x=exp(PI/2)=4.810477380965351
98,03,03,22,41 正確
<a name="prob0a23">
請到
http://freeman2.com/polyroo1.htm#testFunc
找字串「a name=testFunc」，在表格的最下面一行
任次方 〔 〕 〔 〕 〔 〕 cpowf(c1,c2)
左方格〔 〕填入 4.810477380965351
中方格〔 〕填入 i
點擊「任次方」按鈕，右方格〔 〕輸出
6.123031769111886e-17,1
這就是
0,1
也就是
0+i
程式驗證正確。
98,03,04,12,24 記錄止
自由人的工作無人校對，自以為是的導證可能錯誤，如果
讀者有任何疑問，請就近請教數學高手。對於本卷的內容
請處處置疑。 98,03,04,16,04.
<a name="prob0b01"> 98,03,05,19,05 始 上面是第一題 已知 i = sqrt(-1) 在公式 x^i = i 中，求解 x 解析答案是 x=exp(PI/2)=4.810477380965351 <a name="prob0b02"> 目錄 下面是第二題，把第一題的 x 及 i 對調 已知 i = sqrt(-1) -----(B01) 在公式 i^x = x -----(B02) 中，求解 x 數值答案是 x=(p+q*i)= -----(B03) (0.4382829367270321+0.36059247187138543*i) 這個複數有下述關係 i^(p+q*i)=(p+q*i) -----(B04) <a name="prob0b03"> 說明如下。 [[ 98,03,02,09,06 最終公式為 (a+b*i)^(p+q*i) =(c*exp(i*d))^(p+q*i) ={(c^p)*exp(-d*q)} ----(A13) *{cos[p*d+log(c^q)]+i*sin[p*d+log(c^q)]} ]] 98,03,05,15,16 如何解 i^x=x ？ <a name="prob0b04"> 底數是 i 所以， (a+b*i)=0+i -----(B05) 上面是底數複數的正坐標表示法， 下面是底數複數的極坐標表示法， c*exp(i*d)= -----(B06) 1*exp(i*1.5707963267948965) =1*exp(i*PI/2) <a name="prob0b05"> 底數複數 i = c*exp(i*d)= 1*exp(i*PI/2) -----(B07) c=1 -----(B08) d=PI/2 -----(B09) <a name="prob0b06"> 上面是 i^x=x 公式的底數複數 i 下面是 i^x=x 公式的指數複數 x 及右手側的 x 指數複數 x 是 (p+q*i) -----(B10) 右手側的 x 根據通式 (A13) 式為 {(c^p)*exp(-d*q)} -----(B11) *{cos[p*d+log(c^q)]+i*sin[p*d+log(c^q)]} <a name="prob0b07"> 在本題 i^x=x 特殊要求下，必須有 指數複數 x = (p+q*i) 與 右手側的 x = {(c^p)*exp(-d*q)} *{cos[p*d+log(c^q)]+i*sin[p*d+log(c^q)]} 二者相等。所以， <a name="prob0b08"> 下式成立（再次，本題 i^x=x 特殊要求） (p+q*i)= -----(B12) {(c^p)*exp(-d*q)} *{cos[p*d+log(c^q)]+i*sin[p*d+log(c^q)]} <a name="prob0b09"> 等號左右的實數等於實數， 等號左右的虛數等於虛數，得到下面公式 p=(c^p)*exp(-d*q)*cos[p*d+log(c^q)] -----(B13) q=(c^p)*exp(-d*q)*sin[p*d+log(c^q)] -----(B14) p 及 q 緊密的絞在一起！ 98,03,05,15,20 解題此 98,03,05,19,26 說明此 <a name="prob0b10"> 把 c=1 -----(B08) d=PI/2 -----(B09) 代入 (B13) 及 (B14) 得到 p=(1^p)*exp(-q*PI/2)*cos[p*PI/2+log(1^q)] q=(1^p)*exp(-q*PI/2)*sin[p*PI/2+log(1^q)] 簡化 p=1*exp(-q*PI/2)*cos[p*PI/2+0] q=1*exp(-q*PI/2)*sin[p*PI/2+0] <a name="prob0b11"> 再簡化 p=exp(-q*PI/2)*cos[p*PI/2] -----(B15) q=exp(-q*PI/2)*sin[p*PI/2] -----(B16) 如何求 p ？如何求 q ？ 平方和可以消除正弦與餘弦 p*p=exp(-q*PI/2)*exp(-q*PI/2)*cos[p*PI/2]*cos[p*PI/2] q*q=exp(-q*PI/2)*exp(-q*PI/2)*sin[p*PI/2]*sin[p*PI/2] <a name="prob0b12"> p*p+q*q=exp(-q*PI/2)*exp(-q*PI/2) -----(B17) 98,03,05,15,25 有幫助嗎？ 看來 exp(-q*PI/2)與複數 (p+q*i) 的長度有關 exp(-q*PI/2)=abs(p+q*i) -----(B18) p=abs(p+q*i)*cos[p*PI/2] -----(B19) q=abs(p+q*i)*sin[p*PI/2] -----(B20) 98,03,05,15,30 <a name="prob0b13"> 目錄 98,03,05,15,50 下面公式是正確的 p=exp(-q*PI/2)*cos[p*PI/2] -----(B15) q=exp(-q*PI/2)*sin[p*PI/2] -----(B16) exp() 中及 sin() 中都有 p*PI/2 在公式左側也 加入 p*PI/2，全式乘 p*PI/2 得到 p*PI/2=exp(-q*PI/2)*cos[p*PI/2]*PI/2 -----(B21) q*PI/2=exp(-q*PI/2)*sin[p*PI/2]*PI/2 -----(B22) <a name="prob0b14"> 98,03,05,15,54 此 令 p*PI/2=m -----(B23) 令 q*PI/2=n -----(B24) 於是 (B21) 式及 (B22) 式變為 m=exp(-n)*cos(m)*PI/2 -----(B25) n=exp(-n)*sin(m)*PI/2 -----(B26) <a name="prob0b15"> (B25)/(B26) 得到 m/n=cos(m)/sin(m) -----(B27) (B25)及(B26) 的平方和得到 m*m+n*n=exp(-n)*exp(-n)*(PI*PI/2/2) -----(B28) 由 (B27) 求 n n=m*sin(m)/cos(m) -----(B29) <a name="prob0b16"> 把 n 代入 (B28) m*m+[m*sin(m)/cos(m)]*[m*sin(m)/cos(m)] =exp(-m*sin(m)/cos(m))*exp(-m*sin(m)/cos(m)) *(PI*PI/2/2) -----(B30) 至此，(B30) 全式只有一個參數 m 令 (B30) 為 f(m)=m*m+(m*sin(m)/cos(m))*(m*sin(m)/cos(m)) -exp(-m*sin(m)/cos(m))*exp(-m*sin(m)/cos(m))*(PI*PI/2/2) <a name="prob0b17"> 以下求助於數值解答。 98,03,05,16,02 把 m 改為 t 因為畫圖程式規定以 t 為自變數 <a name="prob0b18"> 目錄 f(t)= t*t+(t*sin(t)/cos(t))*(t*sin(t)/cos(t))-exp(-t*sin(t)/cos(t))*exp(-t*sin(t)/cos(t))*(PI*PI/2/2) 畫圖之後估計 m=t=0.7 是一個解答 令 p*PI/2=m p=m*2/PI=0.7*2/PI=0.44563384065730693 <a name="prob0b19"> 請前往 http://freeman2.com/graph09c.htm [[ 9803062052 請注意﹕ 本卷下面有畫圖工具，不必去 graph09c.htm 9803071023 請注意﹕ 本卷下面有「修改 602」按鈕，點此按鈕直接獲得 m=0.7 的近似解。 ]] 點擊「修改 601」按鈕 在「刪除函數 一 二 三 四 五 全刪」中，點擊「全刪」 在 函數一 x(t) 填入 't' 在 函數一 y(t) 填入下面一行 t*t+(t*sin(t)/cos(t))*(t*sin(t)/cos(t))-exp(-t*sin(t)/cos(t))*exp(-t*sin(t)/cos(t))*(PI*PI/2/2) 然後點擊左側黃條上端的「畫圖」按鈕（不能點「畫圖 601」） 函數曲線出現，估計答案為 m=t=0.7 <a name="prob0b20"> 令 q*PI/2=n m=0.7 n=m*sin(m)/cos(m) q=n*2/PI q=0.375352205926785 <a name="prob0b21"> 用環路、迭代法求數值解，工具是眼足網頁 http://freeman2.com/eyefoot1.htm 98,03,05,16,13 使用下面指令 [[ var oStr=''; var aa=0; var t=0; for(t=0.688453;t<0.688456;t=t+0.0000001){aa=t*t+(t*sin(t)/cos(t))*(t*sin(t)/cos(t))-exp(-t*sin(t)/cos(t))*exp(-t*sin(t)/cos(t))*(PI*PI/2/2);oStr+=t+', '+aa+'\n';} oStr ]] <a name="prob0b22"> t=0.6884532999999998 t*t+(t*sin(t)/cos(t))*(t*sin(t)/cos(t))-exp(-t*sin(t)/cos(t))*exp(-t*sin(t)/cos(t))*(PI*PI/2/2) = 4.927305469193399e-7 <a name="prob0b23"> 98,03,05,16,25 m=t=0.68845322722 t*t+(t*sin(t)/cos(t))*(t*sin(t)/cos(t))-exp(-t*sin(t)/cos(t))*exp(-t*sin(t)/cos(t))*(PI*PI/2/2) = 7.59100893255038e-10 <a name="prob0b24"> 令 p*PI/2=m 令 q*PI/2=n 98,03,05,16,27 m=0.68845322722 n=m*sin(m)/cos(m) q=n*2/PI q= 0.3605924720127381 p=m*2/PI p= 0.4382829367985232 <a name="prob0b25"> p+qi= 0.4382829367985232+0.3605924720127381i 98,03,05,16,30 得到 i^x=x 數值解答 i^(p+qi) i^[0.4382829367985232+0.3605924720127381i] 等於 0.43828293658922373,0.3605924718405392 98,03,05,16,31 <a name="prob0b26"> i^x=x 的解析解答是什麼呢？ [[ p=abs(p+q*i)*cos[p*PI/2] q=abs(p+q*i)*sin[p*PI/2] p*PI/2=exp(-q*PI/2)*cos[p*PI/2]*PI/2 q*PI/2=exp(-q*PI/2)*sin[p*PI/2]*PI/2 98,03,05,15,54 令 p*PI/2=m 令 q*PI/2=n m=exp(-n)*cos(m)*PI/2 n=exp(-n)*sin(m)*PI/2 ]] <a name="prob0b27"> 好像可以找到 i^x=x 的解析解答 98,03,05,16,33 sqrt(p*p+q*q) = 0.5675551634519729 答案複數長度不是一 98,03,05,16,59 解析解答才是真正答案，數值解答只是旁證。 <a name="prob0b28"> 98,03,05,17,05 sqrt(p*p+q*q) = exp(-q*PI/2) (p*p+q*q) = [exp(-q*PI/2)]^2 (p*p+q*q) = exp[(-q*PI/2)*2] (p*p+q*q) = exp(-q*PI) <a name="prob0b29"> 98,03,05,17,07 atan2(q,p) = p*PI/2 98,03,05,17,12 或者由 m, n 著手 [[ let p*PI/2=m let q*PI/2=n m=exp(-n)*cos(m)*PI/2 n=exp(-n)*sin(m)*PI/2 98,03,05,15,55 m/n=cos(m)/sin(m) m*m+n*n=exp(-n)*exp(-n)*(PI*PI/2/2) n=m*sin(m)/cos(m) ]] <a name="prob0b30"> 目錄 98,03,05,18,05 m=t=0.6884532271077 t*t+(t*sin(t)/cos(t))*(t*sin(t)/cos(t))-exp(-t*sin(t)/cos(t))*exp(-t*sin(t)/cos(t))*(PI*PI/2/2) = -1.4988010832439613e-14 t=0.688453227107703 = 5.218048215738236e-15 t=0.688453227107702105 = -3.3306690738754696e-16 98,03,05,18,08 找到最小誤差的數值解答 m=t=0.688453227107702105 函數值 = -3.3306690738754696e-16 <a name="prob0b31"> 98,03,05,18,10 m,n 是中間過程的變數 p,q 是第二題 i^(p+q*i)=(p+q*i) 的複數 m=0.688453227107702105 n=m*sin(m)/cos(m) q=n*2/PI p=m*2/PI p = 0.4382829367270321 q = 0.36059247187138543 i^(p+q*i)=(p+q*i) <a name="prob0b32"> 98,03,05,18,12 以 i^(0.4382829367270321+0.36059247187138543*i) =(p+q*i) 代入 http://freeman2.com/polyroo1.htm#testFunc <a name="prob0b33"> 目錄 任次方 〔 〕 〔 〕 〔 〕 cpowf(c1,c2) 左方格〔 〕填入 i 中方格〔 〕填入 0.4382829367270321+0.36059247187138543*i 點擊「任次方」按鈕，右方格〔 〕 輸出 0.4382829367270322,0.3605924718713855 輸入 0.4382829367270321+0.36059247187138543*i 上面的輸出值是 i^(p+q*i)=(p+q*i) 等號右側的p,q複數 上面的輸入值是 i^(p+q*i)=(p+q*i) 等號左側的p,q複數 對比之下，確定數值解答正確。 98,03,05,20,04 說明此 <a name="prob0b34"> 第二題 i^x=x 的答案是數值解答， 解析解答才是真正答案，數值解答只是旁證。 自由人在此向數學高手請教是否可以找到解析解答？ 自由人 98,03,05,20,07 自由人的工作無人校對，自以為是的導證可能錯誤，如果 讀者有任何疑問，請就近請教數學高手。對於本卷的內容 請處處置疑。 98,03,04,16,04. <a name="9803062032"> 目錄 98,03,06,20,32 始 在解答第一題 x^i = i 之後，很想看 (c*exp(i*d))^(p+q*i) ----(A01) 是什麼曲線？ 曲線只能有一個變數，(A01)式有四個參數 c,d,p,q 可以以其中一者為自變數，也可以指定 c=c(t) d=d(t) p=p(t) q=q(t) 兩個參數或者多個參數同步改變，但是，沒有同步改變 的理由，所以，採取 c,d,p,q 各自單獨改變。 98,03,06,18,17 開始畫圖指令 98,03,06,20,06 完成畫圖指令 畫出圖形，看不出有什麼竅門，送入國際網路，請大家 都看一看，或許有人可以找到竅門。 謝謝光臨自由人網站。再見 自由人 98,03,06,20,39 <a name="980307a"> 98,03,07,12,22 前面談到請前往 http://freeman2.com/graph09c.htm 現在在本卷已經準備了現成的按鈕，請到a name=graph02 點擊「畫圖 602」按鈕直接獲得曲線，由此曲線， 估計 m=0.7 是近似解，由 m=0.7 至精確解 m=0.688453227107702105 自由人的方法不是最好的方法，好方法例如﹕牛頓迭代法 ，不必手動找精確解。自由人不能用牛頓迭代法，因為手 邊沒有該法的應用程式。 <a name="980307b"> 目錄 另外一點讀者可以嘗試的是找實數的虛數次方根 f(x)=x^i 請到a name=graph01 底數複數﹕c [2] *exp(i*d [0] ) 指角複數﹕p [0] +i*q [1] 在四個方格填入 2 ,c 方格 0 ,d 方格 0 ,p 方格 1 ,q 方格 <a name="980307c"> 於是公式 [c*exp(i*d)]^(p+i*q) 變為 [2*exp(i*0)]^(0+i*1) 就是 2^i 點擊「c 自變」時， 2^i 變為 t^i 程式把 2 改為變數 t 點擊「c 自變」按鈕，獲得一條曲線， 本卷第一題的答案是 4.810477380965351^i=i 所以， <a name="980307d"> 自變數步長 [ ] 起點 [ ] 終點 [ ] 起點至終點的範圍要包括 4.810477380965351 例如規定終點為 4.82 點擊「c 自變」按鈕，曲線剛好 停止在 (0,1) 這就是 i ，這個 i 是下面公式 4.810477380965351^i=i 等號右側的 i 等號左側的 i 在 0 ,p 方格（複數的實數為零） 1 ,q 方格（複數的虛數為一） 處定義。 自由人 98,03,07,12,43 <a name="980307e"> 目錄 98,03,07,19,18 始 本卷增加畫圖功能，希望由圖形獲得啟示，果然奏效， 上面說的 [[ 在四個方格填入 2 ,c 方格 0 ,d 方格 0 ,p 方格 1 ,q 方格 於是公式 [c*exp(i*d)]^(p+i*q) 變為 [2*exp(i*0)]^(0+i*1) 就是 2^i 點擊「c 自變」時， 2^i 變為 t^i 程式把 2 改為變數 t ]] <a name="980307f"> 發覺實數 t 增加時，曲線 t^i 一直繞圈圈，那麼 虛數 i=(0,1) 就會通過無數次，換言之， x^i=i 有無限多組解答。下面是工作記錄。 <a name="980307g"> 98,03,07,18,53 x^i=i 有無限多組解 由 (A28) 及 (A29) 得到 0*d+log(c^1)=PI/2 ==> c=exp(PI/2) -----(A30) 增加 2*n*PI 不改變正弦值，不改變餘弦值， 0*d+log(c^1)= 2*n*PI + PI/2 所以，對於任何整數 n x=c=exp(2*n*PI+PI/2) -----(A30A) 是通解。 98,03,07,18,56 <a name="980307h"> n=0 : 2*n*PI+PI/2= 1.5707963267948965 exp(1.5707963267948965)= 4.810477380965351 這是 n=0 的解答 4.810477380965351^i= 6.123031769111886e-17,1 驗證正確 〔 提示，上面一行 6.123031769111886e-17,1 就是 0,1 也就是 i , 全部公式為 exp(1.5707963267948965)^i=i 或者 4.810477380965351^i=i 這是第一題 x^i=i 的解答 x=4.810477380965351 是一組解答 98,03,11,14,58 〕 n=1 : 2*n*PI+PI/2= 7.853981633974483 exp(7.853981633974483)= 2575.9704965975697 這是 n=1 的解答 2575.9704965975697^i= 3.061515884555943e-16,1 驗證正確 <a name="980307i"> n=2 : 2*n*PI+PI/2= 14.137166941154069 exp(14.137166941154069)= 1379410.7058059827 這是 n=2 的解答 1379410.7058059827^i= 5.510728592200698e-16,1 驗證正確 98,03,07,19,03 n=-1 : 2*n*PI+PI/2 = -4.71238898038469 exp(-4.71238898038469)= 0.008983291021129429 這是 n=-1 的解答 0.008983291021129429^i= -1.836909530733566e-16,1 驗證正確 98,03,07,19,06 98,03,07,19,37 記錄止 <a name="980308a"> 目錄 98,03,08,10,07 始 解題之初，主要的注意力是有沒有解答，找到解答之後， 才注意是唯一解或者是多數解或者是無限多數解？ 98,03,07,18,53 注意 x^i=i 有無限多組解 98,03,07,21,32 注意 x^i=i 有無限多組解答 i^x=x 有多少組解答？ <a name="980308b"> 此時，回頭看「畫圖 602」，同時寫「畫圖 603」 "畫圖 602" 看第一個零點， "畫圖 603" 看全圖。 "畫圖 602" 及 "畫圖 603" 相同的公式，不同的展示範圍。 公式 i^x=x 求解 x 過程中需要自下面兩個公式 m=exp(-n)*cos(m)*PI/2 -----(B25) n=exp(-n)*sin(m)*PI/2 -----(B26) <a name="980308c"> 求解 m,n 消去 n 之後，只含 m 的公式，為 「畫圖 602」及「畫圖 603」的內定公式如下。 （把 m 改為 t） t*t+(t*sin(t)/cos(t))*(t*sin(t)/cos(t)) -exp(-t*sin(t)/cos(t)) *exp(-t*sin(t)/cos(t))*(PI*PI/2/2) -----(B30) 上面三行是一條公式，應該串為一行。 <a name="980308d"> 因為曲線形狀類似「冊」字，故名為「冊字曲線」。 由「冊字曲線」可以推測（不是證明） i^x=x 有無限 多組解答。迄今仍然在思考 (B25) 及 (B26) 的 解析解答。 98,03,08,10,20 止
<a name="980309a"> 目錄 98,03,09,10,50 記錄始 下面是 i^x=x 求 x 的部份工作記錄 x=p+i*q [[ 令 R=p+i*q 令 S=p-i*q 98,03,08,22,32 ]] <a name="980309b"> 98,03,09,04,15 下面的公式 R=exp(+i*R*PI/2) -----(B31) 是正確的 如何解出 R ？ <a name="980309c"> 98,03,09,04,27 下面的公式 S=exp(-i*S*PI/2) -----(B32) 是正確的 如何解出 S ？ <a name="980309d"> 98,03,09,10,33 花了一天的時間找到 R=exp(+i*R*PI/2) -----(B31) 是正確的公式 如何由 (B31) 求 R [[ 98,03,05,15,50 下面公式是正確的 p=exp(-q*PI/2)*cos[p*PI/2] -----(B15) q=exp(-q*PI/2)*sin[p*PI/2] -----(B16) ]] 98,03,09,10,40 (B15) 與 (B16) 合併為 (B31) 現在才有能力一眼就看出 (B15) 與 (B16) 合併為 (B31) ，二者是一回事。 98,03,09,11,03 記錄止 <a name="980309e"> exp(i*實數) 的長度是一 exp(i*複數) 的長度不是一！！ 因為結果公式乘額外項 exp(-q*PI/2) 改變 cos[p*PI/2]+i*sin[p*PI/2] 的長度。 98,03,09,11,09 記錄止 98,03,23,22,59 納入部份公式導證 取自 http://freeman2.com/complex1.htm <a name="cexp01"> 複指數 var tiny1=1.e-6; //全域變數，已經定義 exp(z) = exp(x+iy) = exp(x)*exp(iy) = exp(x)*(cos(y) + i*sin(y)). <a name="csin01"> 目錄 9803161750 複正弦 sin(z) = [exp(iz) - exp(-iz)]/(2*i) sin(x+iy) = {exp[i(x+iy)] - exp[-i(x+iy)]}/(2*i) = {exp(ix)*exp(iiy) - exp(-ix)*exp(-iiy)}/(2*i) = {exp(ix)*exp(-y) - exp(-ix)*exp(+y)}/(2*i) = {exp(-y)*[cos(x)+i*sin(x)] - exp(+y)*[cos(-x)+i*sin(-x)]}/(2*i) = {exp(-y)*[cos(x)+i*sin(x)] - exp(+y)*[cos(x)-i*sin(x)]}*i/(i*i)/2 = {exp(-y)*cos(x)+i*exp(-y)*sin(x) - exp(+y)*cos(x)+i*exp(+y)*sin(x)}*(-i)/2 = {(-i)*exp(-y)*cos(x)+(-i)*i*exp(-y)*sin(x) - (-i)*exp(+y)*cos(x)+(-i)*i*exp(+y)*sin(x)}/s = {(-i)*exp(-y)*cos(x)+exp(-y)*sin(x) - (-i)*exp(+y)*cos(x)+exp(+y)*sin(x)}/2 = { -i*exp(-y)*cos(x)+exp(-y)*sin(x) +i*exp(+y)*cos(x)+exp(+y)*sin(x)}/2 = sin(x)*[exp(-y)+exp(+y)]/2 +i*cos(x)*[exp(+y)-exp(-y)]/2 9803161809 <a name="ccos01"> 目錄 9803161931 複餘弦 cos(z) = [exp(iz) + exp(-iz)]/(2) cos(x+iy) = {exp[i(x+iy)] + exp[-i(x+iy)]}/(2) = {exp(ix)*exp(iiy) + exp(-ix)*exp(-iiy)}/(2) = {exp(ix)*exp(-y) + exp(-ix)*exp(+y)}/(2) = {exp(-y)*[cos(x)+i*sin(x)] + exp(+y)*[cos(-x)+i*sin(-x)]}/(2) = {exp(-y)*[cos(x)+i*sin(x)] + exp(+y)*[cos(x)-i*sin(x)]}/2 = {exp(-y)*cos(x)+i*exp(-y)*sin(x) + exp(+y)*cos(x)-i*exp(+y)*sin(x)}/2 = {exp(-y)*cos(x)+exp(+y)*cos(x) -i*[exp(+y)*sin(x)-exp(-y)*sin(x)]}/2 = cos(x)*[exp(-y)+exp(+y)]/2 -i*sin(x)*[exp(+y)-exp(-y)]/2 9803161941 <a name="ctan01"> 複正切 tan(x+iy)=sin(x+iy)/cos(x+iy) <a name="sinh01"> 目錄 9803162117 雙曲正弦 sinh(z)=[(exp(z)-exp(-z)]/2 sinh(x+iy) =[ exp(x+iy)-exp(-x-iy)]/2 =[ exp(x)*exp(iy)-exp(-x)*exp(-iy)]/2 ={ exp( x)*[cos(y) +i*sin(y)] -exp(-x)*[cos(-y)+i*sin(-y)]}/2 ={ exp( x)*[cos(y) +i*sin(y)] -exp(-x)*[cos(y) -i*sin(y)]}/2 ={ exp( x)*cos(y) +i*exp( x)*sin(y) -exp(-x)*cos(y) -i*[-exp(-x)]*sin(y)}/2 ={ exp( x)*cos(y) +i*exp( x)*sin(y) -exp(-x)*cos(y) +i*exp(-x)*sin(y)}/2 = cos(y)*[exp( x)-exp(-x)]/2 +i*sin(y)*[exp( x)+exp(-x)]/2 9803162125 <a name="cosh01"> 目錄 9803162138 雙曲餘弦 cosh(z)=[(exp(z)+exp(-z)]/2 cosh(x+iy) =[ exp(x+iy)+exp(-x-iy)]/2 =[ exp(x)*exp(iy)+exp(-x)*exp(-iy)]/2 ={ exp( x)*[cos(y) +i*sin(y)] +exp(-x)*[cos(-y)+i*sin(-y)]}/2 ={ exp( x)*[cos(y) +i*sin(y)] +exp(-x)*[cos(y) -i*sin(y)]}/2 ={ exp( x)*cos(y) +i*exp( x)*sin(y) +exp(-x)*cos(y) -i*[+exp(-x)]*sin(y)}/2 ={ exp( x)*cos(y) +i*exp( x)*sin(y) +exp(-x)*cos(y) -i*exp(-x)*sin(y)}/2 = cos(y)*[exp( x)+exp(-x)]/2 +i*sin(y)*[exp( x)-exp(-x)]/2 9803162141 <a name="tanh01"> 雙曲正切 tanh(z)=sinh(z)/cosh(z) 9803242150 <a name="980313"> 98,03,13,10,17,02 取閱 http://mathforum.org/library/drmath/view/63367.html Log[z] = Log[Abs[z]] + I*(Arg[z]+2*Pi*k) , ===== <a name="980318a"> 目錄 98,03,17,11,15,56 取閱 http://personal.maths.surrey.ac.uk/st/C.Wulff/Modules/MS224/cvch1.pdf 98,03,18,14,15 開始閱讀記錄 1.7.2 複數的對數 如果 z = e^w, 則 w 定義為複數 z 的自然對數。 寫為 w = Log z 為了找到所有 z 的自然對數（有無限多組解答！） 將複數寫如 w = u + iv 及 z = r(cos θ + i sin θ) 其中 -π < θ <= π （π 是圓周率 3.141592653589793...） 限定 -π < θ <= π 範圍的目的是只取答案 arg(z) 的主值。〔答案 arg(z) 有無限多個副值〕，公式 <a name="980318b"> z = e^w 變為 r(cos θ + i sin θ) = e^(u + iv) = e^(u + iv) = e^u*e^(iv) = e^u*(cos v + i sin v) 全式為 r(cos θ + i sin θ) = e^u*(cos v + i sin v) 對比左右， 由非三角函數左右相等，得到 r = e^u 由三角函數左右相等，得到 (cos θ + i sin θ) = (cos v + i sin v) 由980515說明得悉 v = θ+2kπ k=0, +/-1, +/-2, +/-3 .... <a name="980318c"> 9803181436 這一步引入無限多組答案，因為整數 k 有無限多個值。 v = θ 沒有問題，因為左右全等，所以， v = θ 但是 v = θ+2kπ 那麼，當 k 不為零的時候，很明顯的 v 不= θ 我們怎麼能夠說 v = θ+2kπ 因為， v 及 θ 都用於正弦、餘弦函數， 2kπ 是周期 2π 的整數倍，繞整整數周的正弦、餘弦函數值不變。在 納入 +2kπ 的因素之後，我們才能得到所有的解答。 9803181449 <a name="980318d"> 目錄 r = e^u 就是 u = log(r) 所以 z = r(cos θ + i sin θ) Log z = w w = u + iv Log z = u + iv = log(r) + i*(θ+2kπ) 其中 log(r) = log(|z|) r 是 z 的絕對值。 θ=arg(z)=atan2(Im(z),Re(z)) k=0, +/-1, +/-2, +/-3 .... π 是圓周率 3.141592653589793... 請注意 <a name="980318e"> Log z 與 log z 不同 差別如下 Log z = log(r) + i*(θ+2kπ) // k 是任意整數 log z = log(r) + i*(θ+0) // k=0 Log z 是通值，包括所有解答 log z 是主值，只有 k=0 的解答。 答案也可以寫為 Log z = log z + i*2kπ // k 是任意整數 當 z=0 時，Log z 無定義，因為 log(r) = log(|z|) = log(0) = 負無限大 <a name="980318f"> 另外一點也需要注意， z = x + iy x < 0 此時，y 自左、自右趨近於零時，得到不同答案如下 lim[y->0+]{log(z)} = log(|x|) + i*PI lim[y->0-]{log(z)} = log(|x|) - i*PI 所以， 在負實軸 y=0, x<0 上 log(z) 不連續。 <a name="980515"> 9805151631 始 上面的 (cos θ + i sin θ) = (cos v + i sin v) 導致 v = θ+2kπ k=0, +/-1, +/-2, +/-3 .... 以實際例題說明如下 假設 θ=π/3 （弧度） =180/3=60度 （角度） 那麼 (cos v + i sin v) 中的 v 可以是 60度 (k=0) (2π弧度 = 360角度) 或者是 60度 + 1*360度 = 420度 (k=1) 或者是 60度 + 2*360度 = 780度 (k=2) 或者是 60度 - 3*360度 =-1020度(k=-3) 等等。 只要是 60度 加減 360度的整數倍數， (cos v + i sin v) 都等於 (cos θ + i sin θ) 因為三角函數是周期函數，周期整數倍數的函數值相同， v = θ+2kπ 其中 k 是任意整數，而整數有無限多。 這個簡單的觀察，使我們獲知 複數的對數，一組輸入值 θ，有無限多組輸出值 v 。 對於初學者，舉簡單的實例比較容易了解。 9805151645 止 <a name="980318g"> 目錄 下面是 兩個複數乘積之後取對數與 兩個複數乘積之前的對數相加， 兩種不同的計算方法，能夠得到相同的答案嗎？ （非常困惑，因為複數的對數是多值的 9803181510） 令 z1=r1*exp(i*θ1) z2=r2*exp(i*θ2) 此處 θ1 及 θ2 都是輻角的主值。（起步時，不要引入麻煩） 則 Log z1 = log(r1) + i*(θ1+2nπ) // n 是 z1 的變數 Log z2 = log(r2) + i*(θ2+2mπ) // m 是 z2 的變數 <a name="980318h"> 兩個複數乘積之前的對數相加，如下 Log z1 + Log z2 = log(r1) + i*(θ1+2nπ) +log(r2) + i*(θ2+2mπ) = log(r1*r2) + i*(θ1+θ2+2nπ+2mπ) =log(r1*r2) + i*(θ1+θ2+2(n+m)π) =log(r1*r2) + i*(θ1+θ2+2pπ) // p=(n+m) <a name="980318i"> 另外一方面，兩個複數乘積之後的對數計算如下 z1=r1*exp(i*θ1) z2=r2*exp(i*θ2) z1*z2=r1*r2*exp(i*(θ1+θ2)) 所以， Log(z1*z2)= log(r1*r2) + i*(θ1+θ2+2qπ) // q 是任意整數 相比於 Log z1 + Log z2 = log(r1*r2) + i*(θ1+θ2+2pπ) // p 是任意整數 <a name="980318j"> 兩種計算得到相同的結果，我們結論 Log z1 + Log z2 與 Log(z1*z2) 的某個值相等 （說「某個值相等」，因為一者是 q 隨變，另者是 p 隨變） 複數取對數的加法律﹕ Log z1 + Log z2 = Log(z1*z2) 副律為﹕ 對任意整數 n n*Log(z) 是 Log(z^n) 中的一個值。 <a name="980318k"> 複數取對數的減法律﹕ Log z1 - Log z2 = Log(z1/z2) 之導證同理。 註﹕ 本卷使用 Log z = log(r) + i*(θ+2kπ) // k 是任意整數 log z = log(r) + i*(θ+0) // k=0 另外有作者的定義剛好相反，只要同一篇文章內用法一致 就可以了。 上面是 http://personal.maths.surrey.ac.uk/st/C.Wulff/Modules/MS224/cvch1.pdf 的閱讀心得，主要是翻譯，少許自由人意見。 98,03,18,15,36 止 <a name="980317"> 目錄 98,03,17,11,15,56 下載 http://personal.maths.surrey.ac.uk/st/C.Wulff/Modules/MS224/cvch1.pdf 98,03,17,19,14 閱讀 personal.maths.surrey.ac.uk_cvch1.pdf 98,03,17,19,32 記錄 [[ 任意複數 z 的任意複數 w 次方是多值 1.7.3 任意複數 z 的任意複數 w 次方 z^w 因為指數函數 exp() 與對數函數 log() 互為 逆運算，所以，對任何數值 Y 有 exp(Log(Y)) = Y 我們定義 z^w = exp(Log(z^w)) z^w = exp(w*Log(z)) //對數函數有摘帽子 w 的特性 因為對數函數 Log(z) 是多值函數，所以，z^w 是多值的。 主值定義為 z^w = exp(w*log(z)) 通值使用大寫的 Log(z) 主值使用小寫的 log(z) 98,03,17,19,42 記錄止 ]] <a name="980319a"> 目錄 98,03,19,17,26 始 下面討論複數的反正弦函數 casin() 也是讀書心得，參考資料來自「請教數學博士」網頁 98,03,12,21,21 取閱 http://mathforum.org/library/drmath/view/52235.html Date: 7/14/96 at 21:49:33 From: Doctor Jerry Subject: 回覆﹕複數的反三角函數 asin/acos/atan <a name="980319b"> 為了便利討論，定義 z=x+iy -----(d01) ，為了求反正弦函數 casin(z) （這是自由人網頁函數名稱） arcsin(z) （這是「請教數學博士」網頁函數名稱） 我們解下述公式 sin(w) = z -----(d02) 其中 w=u+iv -----(d03) （提醒 z=x+iy） <a name="980319c"> 因為 sin(w) = (e^(iw)-e^(-iw))/(2i) -----(d04) 我們自下述公式解 w （w是待求的未知，z 是已知） (e^(iw)-e^(-iw))/(2i) = z -----(d05) 也就是要找到 w = f(z) -----(d06) 上面 (d05) 公式左右同時乘以 [(2i)*e^(iw)] 使得一次式 e^(iw) 減倒數項 e^(-iw) 轉換為 <a name="980319d"> 二次式，二次式有解答公式，通分的結果為 (e^(iw)*[(2i)*e^(iw)] - e^(-iw)*[(2i)*e^(iw)] ) /(2i) = z*[(2i)*e^(iw)] -----(d07) 等號左側的 (2i) 自分子、分母相消，簡化為 e^(iw)*e^(iw) - e^(-iw)*e^(iw) = z*(2i)*e^(iw) <a name="980319e"> 目錄 再簡化為 e^(iw)*e^(iw) - 1 = 2i*z*e^(iw) 移項到左側，得到二次式 e^(iw)*e^(iw) - 2i*z*e^(iw) - 1 = 0 -----(d08) 其中 w 是待求的未知，z 是已知，e 及 i 都是已知 <a name="980319f"> 令 p = e^(iw) 則 (d08) 式變為 p^2 - (2iz)p - 1 = 0 -----(d09) 解 p = e^(iw) 二次式 a*x*x + b*x + c = 0 -----(d10) 的通解為 x = [-b +/- sqrt(b*b-4*a*c)]/(2*a) -----(d11) <a name="980319g"> 對比 (d09) 及 (d10) 兩式， a = 1 b = - (2iz) c = -1 未知 x 就是 (d09) 式中的 p = e^(iw) <a name="980319h"> x = p = e^(iw) = [-b +/- sqrt(b*b-4*a*c)]/(2*a) = {-(-2iz) +/- sqrt[(-2iz)*(-2iz)-4*1*(-1)]}/(2*1) = { 2iz +/- 2*sqrt[(iz)*(iz)-(-1)]}/(2*1) = { iz +/- sqrt[(iz)*(iz)+1]}/(1) = { iz +/- sqrt[i*i*z*z+1]} = { iz +/- sqrt[1-z*z]} <a name="980319i"> e^(iw) = { iz +/- sqrt[1-z*z]} -----(d12) 因為 w 是未知，析出 w 得到 w = -i*ln(iz + (1-z^2)^(1/2)) -----(d13) 註﹕ exp(x)=a ，左右同時取對數得到 log(exp(x)) = log(a) 因為對數與指數互為反運算，所以 log(exp(x))=x 也就是 x = log(a) 此處 x=iw a=iz +/- sqrt[1-z*z] <a name="980319j"> 目錄 所以，iw=log(iz +/- sqrt[1-z*z]) 全式乘 i 並且 +/- 取正值，得到 (d13) 式 註﹕ w = arcsin(z) = arcsin(x+iy) arcsin(z) 的最後答案。 arcsin(z) = -i*log[iz + (1-z^2)^(1/2)] ---(d14) +/- 取負值，得到第二組答案 arcsin(z) = -i*log[iz - (1-z^2)^(1/2)] ---(d15) 98,03,19,18,17 止 <a name="980320a"> 目錄 98,03,20,12,42 始 求反餘弦函數 z=x+iy -----(e01) cacos(z) （這是自由人網頁函數名稱） arccos(z) （這是「請教數學博士」網頁函數名稱） 我們解下述公式 cos(w) = z -----(e02) 其中 w=u+iv -----(e03) （提醒 z=x+iy） 因為 cos(w) = (e^(iw)+e^(-iw))/(2) -----(e04) <a name="980320b"> 我們自下述公式解 w （w是待求的未知，z 是已知） (e^(iw)+e^(-iw))/(2) = z -----(e05) 也就是要找到 w = f(z) -----(e06) 上面 (e05) 公式左右同時乘以 [(2)*e^(iw)] 使得一次式 e^(iw) 減倒數項 e^(-iw) 轉換為 <a name="980320c"> 二次式，二次式有解答公式，通分的結果為 (e^(iw) *[(2)*e^(iw)] + e^(-iw)*[(2)*e^(iw)]) /(2) = z*[(2)*e^(iw)] -----(e07) 等號左側的 (2) 自分子、分母相消，簡化為 e^(iw)*e^(iw) + e^(-iw)*e^(iw) = z*(2)*e^(iw) <a name="980320d"> 再簡化為 e^(iw)*e^(iw) + 1 = 2*z*e^(iw) 移項到左側，得到二次式 e^(iw)*e^(iw) - 2*z*e^(iw) + 1 = 0 -----(e08) 其中 w 是待求的未知，z 是已知，e 及 i 都是已知 令 p = e^(iw) 則 (e08) 式變為 p^2 - (2*z)p + 1 = 0 -----(e09) a = 1 b = - (2*z) c = +1 <a name="980320e"> 目錄 解 p = e^(iw) = [-b +/- sqrt(b*b-4*a*c)]/(2*a) = {-(-2z) +/- sqrt[(-2z)*(-2z)-4*1*(+1)]}/(2*1) = { 2*z +/- 2*sqrt[(z)*(z)-1]}/2 = { z +/- sqrt[z*z-1]}/(1) = { z +/- sqrt[z*z-1]} <a name="980320f"> e^(iw) = { z +/- sqrt[z*z-1]} -----(e12) 因為 w 是未知，析出 w 得到 iw = log[z +/- sqrt(z*z-1)] w = -i*log[z +/- sqrt(z*z-1)] -----(e13) <a name="980320g"> arccos(z) 的最後答案。 arccos(z) = -i*log[z + sqrt(z*z-1)] ---(e14) +/- 取負值，得到第二組答案 arccos(z) = -i*log[z - sqrt(z*z-1)] ---(e15) 98,03,20,13,01 止 <a name="980320h"> 98,03,20,20,29 始 求反正切函數 z=x+iy -----(f01) catan(z) （這是自由人網頁函數名稱） arctan(z) （這是「請教數學博士」網頁函數名稱） 我們解下述公式 tan(w) = z -----(f02) 其中 w=u+iv -----(f03) （提醒 z=x+iy） <a name="980320i"> 因為 tan(w) = sin(w)/cos(w) ={[e^(iw)-e^(-iw)]/(2i)} /{[e^(iw)+e^(-iw)]/(2)} -----(f04) <a name="980320j"> 我們自下述公式解 w （w是待求的未知，z 是已知） {[e^(iw)-e^(-iw)]/(2i)} /{[e^(iw)+e^(-iw)]/(2)} = z -----(f05) 也就是要找到 w = f(z) -----(f06) 上面 (f05) 公式分子分母同乘 [(2i)*e^(iw)] 使得一次式 e^(iw) 減倒數項 e^(-iw) 轉換為 二次式，二次式有解答公式，中間過程為 <a name="980320k"> {[e^(iw) *(2i)*e^(iw) -e^(-iw)*(2i)*e^(iw)]/(2i)} /{[e^(iw) *(2i)*e^(iw) +e^(-iw)*(2i)*e^(iw)]/(2)} = z {[e^(iw) *e^(iw) -e^(-iw)*e^(iw)]} /{[e^(iw) *i*e^(iw) +e^(-iw)*i*e^(iw)]} = z -----(f07) <a name="980320l"> {[e^(iw)*e^(iw) -1]} /{[e^(iw)*i*e^(iw) +i]} = z e^(iw)*e^(iw)-1 = z*{[e^(iw)*i*e^(iw)+i]} = z*e^(iw)*i*e^(iw)+z*i -----(f08) <a name="980320m"> e^(iw)*e^(iw)-1 -z*i*e^(iw)*e^(iw)-z*i = 0 e^(iw)*e^(iw)*(1-z*i)-1-z*i = 0 e^(iw)*e^(iw)=(1+z*i)/(1-z*i) e^(iw)= +/- sqrt[(1+z*i)/(1-z*i)] -----(f09) iw= Log{+/- sqrt[(1+z*i)/(1-z*i)]} w= -i*Log{+/- sqrt[(1+z*i)/(1-z*i)]} w= -i*Log{+/- sqrt[(i+z*i*i)/(i-z*i*i)]} <a name="980320n"> 最終答案，開平方取正值與取負值，有兩組答案。 arctan(z)=w= w= -i*Log{+sqrt[(i-z)/(i+z)]} -----(f10) w= -i*Log{-sqrt[(i-z)/(i+z)]} -----(f11) 98,03,20,20,50 止 <a name="980320o"> 98,03,20,21,53 始 在 98,03,17,10,38,57 取閱的網頁 http://www.ece.ucsb.edu/bears/class/engr5a/complex.pdf 最底下的公式為 arctan(z)=Log((i-z)/(i+z))/(2*i) 另外一個參考為 ISBN 0-12-059820-5 page 359, exercise 6.1.16(c) arctan(z)=i*Log((i+z)/(i-z))/2 <a name="980320p"> 二者都與我的公式 w= -i*Log{+/- sqrt[(i-z)/(i+z)]} 不同，復查我的導證大約五次，找不出毛病，只有編程， 看輸出是否與 qccalc.exe 一致。結果，我的答案 與 qccalc.exe 輸出一致！！ atan(2.1+1.2*i) 1.2139472868623191665689789249293418302375913380213300807070034965023543E0 +1.8292986383654624516275986589694639600525463857579863036271574884480371E-1i 98,03,20,21,38 上面是 qccalc.exe 下面是 complex1.htm 下面是 n=0 的答案， n=0 是主值答案。 1.2139472868623191+0.18292986383654638i 98,03,20,21,59 止 <a name="980321a"> 98,03,21,08,42 始 求反雙曲正弦函數 asinh(z) z=x+iy -----(g01) asinh(z) （這是自由人網頁函數名稱） arcsinh(z) 定義已知值 z 是雙曲正弦函數的值 sinh(w) = z -----(g02) 其中未知數是 w=u+iv -----(g03) <a name="980321b"> 雙曲正弦函數 sinh(w) 的定義是 sinh(w) = 0.5*(exp(w)-exp(-w)) -----(g04) 聯係 (g02) 及 (g04) 得到 0.5*(exp(w)-exp(-w)) = z -----(g05) 我們自上述公式解 w （w是待求的未知，z 是已知） 也就是要找到 w = f(z) = asinh(z) -----(g06) <a name="980321c"> 上面 (g05) 公式全式同乘 [2*exp(w)] 使得一次式 exp(w) 減倒數項 exp(-w) 轉換為 二次式，二次式有解答公式，中間過程為 0.5*[exp(w)*2*exp(w)-exp(-w)*2*exp(w)] = z*2*exp(w) exp(w)*exp(w)-exp(-w)*exp(w) = z*2*exp(w) <a name="980321d"> exp(w)*exp(w) -2*z*exp(w) -1 = 0 -----(g07) 這是 exp(w) 的二次式，令 exp(w) 為 x 上式對比於 a*x*x +b*x +c = 0 得到 a = 1 b = -2*z c = -1 二次式的解答 x=[-b +/- sqrt(b*b-4*a*c)]/2 <a name="980321e"> 應用於 (g07) 如下 exp(w) = [-(-2*z) +/- sqrt((-2*z)*(-2*z)-4*1*(-1))]/2 exp(w) = [ 2*z +/-2*sqrt(z*z+1)]/2 exp(w) = z +/- sqrt(z*z+1) 全式取對數，解 w w = Log(z +/- sqrt(z*z+1)) <a name="980321f"> 最後答案，反雙曲正弦函數 asinh(z)=w w = Log(z + sqrt(z*z+1)) -----(g08) w = Log(z - sqrt(z*z+1)) -----(g09) 98,03,21,09,08 止 <a name="980321g"> 98,03,21,13,46 始 求反雙曲餘弦函數 acosh(z) z=x+iy -----(h01) acosh(z) （這是自由人網頁函數名稱） arccosh(z) 定義已知值 z 是雙曲餘弦函數的值 cosh(w) = z -----(h02) 其中未知數是 w=u+iv -----(h03) <a name="980321h"> 雙曲餘弦函數 cosh(w) 的定義是 cosh(w) = 0.5*(exp(w)+exp(-w)) -----(h04) 聯係 (h02) 及 (h04) 得到 0.5*(exp(w)+exp(-w)) = z -----(h05) 我們自上述公式解 w （w是待求的未知，z 是已知） 也就是要找到 w = f(z) = acosh(z) -----(h06) <a name="980321i"> 上面 (h05) 公式全式同乘 [2*exp(w)] 使得一次式 exp(w) 減倒數項 exp(-w) 轉換為 二次式，二次式有解答公式，中間過程為 0.5*[exp(w)*2*exp(w)+exp(-w)*2*exp(w)] = z*2*exp(w) exp(w)*exp(w)+exp(-w)*exp(w) = z*2*exp(w) <a name="980321j"> exp(w)*exp(w) -2*z*exp(w) +1 = 0 -----(h07) 這是 exp(w) 的二次式，令 exp(w) 為 x 上式對比於 a*x*x +b*x +c = 0 得到 a = 1 b = -2*z c = +1 二次式的解答 x=[-b +/- sqrt(b*b-4*a*c)]/2 <a name="980321k"> 應用於 (h07) 如下 exp(w) = [-(-2*z) +/- sqrt((-2*z)*(-2*z)-4*1*(+1))]/2 exp(w) = [ 2*z +/-2*sqrt(z*z-1)]/2 exp(w) = z +/- sqrt(z*z-1) 全式取對數，解 w w = Log(z +/- sqrt(z*z-1)) <a name="980321l"> 最後答案，反雙曲餘弦函數 acosh(z)=w w = Log(z + sqrt(z*z-1)) -----(h08) w = Log(z - sqrt(z*z-1)) -----(h09) 98,03,21,13,54 止 <a name="980321m"> 98,03,21,14,21 始 求反雙曲正切函數 atanh(z) z=x+iy -----(k01) atanh(z) （這是自由人網頁函數名稱） arctanh(z) 定義已知值 z 是雙曲正切函數的值 tanh(w) = z -----(k02) 其中未知數是 w=u+iv -----(k03) <a name="980321n"> 雙曲正切函數 tanh(w) 的定義是 tanh(w) = (exp(w)-exp(-w)) /(exp(w)+exp(-w)) -----(k04) 聯係 (k02) 及 (k04) 得到 (exp(w)-exp(-w)) = z*(exp(w)+exp(-w)) -----(k05) 我們自上述公式解 w （w是待求的未知，z 是已知） 也就是要找到 w = f(z) = atanh(z) -----(k06) <a name="980321o"> 上面 (k05) 公式全式同乘 exp(w) 使得一次式 exp(w) 減倒數項 exp(-w) 轉換為 二次式，二次式有解答公式，中間過程為 exp(w)*exp(w)-exp(-w)*exp(w) = z*[exp(w)*exp(w)+exp(-w)*exp(w)] exp(w)*exp(w)-1 = z*[exp(w)*exp(w)+1] -----(k07) exp(w)*exp(w)-1 - z*exp(w)*exp(w)-z = 0 exp(w)*exp(w)*(1-z) = 1+z exp(w)*exp(w) = (1+z)/(1-z) -----(k08) <a name="980321p"> exp(w+w) = (1+z)/(1-z) 全式取對數，解 w 最後答案，反雙曲正切函數 atanh(z)=w w = 0.5*Log((1+z)/(1-z)) -----(k09) 98,03,21,14,42 止 <a name="980325a"> 98,03,25,09,16 始 由複數實數係數多項式求根 http://freeman2.com/polyroo1.htm 納入部份公式導證，主要是 複指數 複正弦 複餘弦 複正切 雙曲正弦 雙曲餘弦 雙曲正切 增加目錄 [a name=index04] 部份 98,03,25,09,22 止